数学运算之数字计算问题专题

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数学基础知识附录一、数学基本公式1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)2.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b23.完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b34.立方和差公式:a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)二、奇偶运算基本法则1.奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;偶数+奇数=奇数;奇数+偶数=奇数;2.奇数-奇数=偶数;偶数-偶数=偶数;偶数-奇数=奇数;奇数-偶数=奇数;3.奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;偶数×奇数=偶数;奇数×偶数=偶数;4.奇数的N次幂为奇数;偶数的N次幂为偶数;5.两个数的和为奇数,则它们奇偶相反,两个数的和为偶数,则它们奇偶相同;6.两个数的和为奇数,则其差也为奇数,两个数的和为偶数,则其差也为偶数。三、数的整除性质:(1)对称性:若甲数能被乙数整除,乙数也能被甲数整除,那么甲、乙两数相等。(2)传递性:若甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。(2)若两个数能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能该自然数整除。(3)几个数相乘,若其中有一个因子能被某一个数整除,那么它们的积也能被该数整除。(4)若一个数能被两个互质数中的每一个数整除,那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。(5)若一个数能被两个互质数的积整除,那么,这个数也能分别被这两个互质数整除。(6)若一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。四、数的整除特征一个数要想被另一个数整除,该数需含有对方所具有的质数因子。(一)1与0的特性:1是任何整数的约数,0是任何非零整数的倍数。(二)2、4、8、5、25、125整除判定1.能被2(或5)整除的数,末一位数字能被2(或5)整除;若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。2.能被4(或25)整除的数,末两位数字能被4(或25)整除;3.能被8(或125)整除的数,末三位数字能被8(或125)整除;4.一个数被2(或5)除得的余数,就是其末一位数字被2(或5)除得的余数5.一个数被4(或25)除得的余数,就是其末两位数字被4(或25)除得的余数6.一个数被8(或125)除得的余数,就是其末三位数字被8(或125)除得的余数(三)3、9整除判定1.能被3(或9)整除的数,各位数字和能被3(或9)整除。2.一个数被3(或9)除得的余数,就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。(四)11整除判定若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。(不够减时依次加11直至够减为止)。11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理,过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。(五)7整除判定1.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。2.一个三位以上的整数能否被7(11或13)整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能否被7(11或13)整除。3.将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7(11或13)整除,则原多位数也被7(11或13)整除。(六)13整除判定若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。(七)17整除判定1.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。2.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。(八)19整除判定1.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。2.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。(九)23整除判定若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。(十)6、12整除判定1.若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。2.若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。【例题1】(2007年中央第60题)有一食品店某天购进了6箱食品,分别装着饼干和面包,重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包,在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍,则当天食品店购进了()公斤面包。A.44B.45C.50D.52【解析】本题是整除运算题目。由题意可知,6箱食品共重102公斤,设卖出的一箱面包为x公斤,又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍,所以(102-x)应是3的倍数,并且(102-x)÷3应是其余5箱中一箱的重量或几箱重量的和。只有当x=27时符合条件,此时共有面包27+(102-27)÷3=52公斤。故选D。【例题2】(2006年中央(一类)第50题,(二类)第34题)一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有()。A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】本题要运用整除运算。根据“除以5余2”,可知该数的尾数为2或7;而根据“除以4余3”,可知其尾数只能为7,根据“除以9余7”,该数可以表示为9x+7,其中x的范围为11至110;其中尾数为7的有9y+7,其中y的范围为20至110,经检验可知,当y为30、50、70、90、110时,该三位数仍不能符合“除以4余3”的条件,即只有当y为20、40、60、80、100时,该三位数才满足三个条件,因此共有5个三位数。故选A。【例题3】求一个首位数字为5的最小六位数,使这个数能被9整除,且各位数字均不相同。分析:由于要求被9整除,可只考虑数字和,又由于要求最小的,故从第二位起应尽量用最小的数字排,并试验末位数字为哪个数时,六位数为9的倍数。【解析】一个以5为首位数的六位数,要想使它最小,只可能是501234(各位数字均不相同)。但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15,并不是9的倍数,故只能将末位数字改为7,这时,5+0+1+2+3+7=18是9的倍数,故501237是9的倍数。即501237是以5为首位,且是9的倍数的最小六位数。【例题4】从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数,其中能被3整除的有几个?【解析】三位数的数字和字和应被3整除,所以可取的三个数字分别是:0,1,2;0,2,4;0,2,7;1,4,7。于是有:(2*2*1)*3+3*2*1=18﹝个﹞【例题5】某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三字依次是多少?【解析】这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除,所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。1993000/2520=790......22002520-2200=320所以最后三位数依次是3、2、0。【例题6】十个连续的自然数,其中的奇数之和为85,在这10个连续的自然数中,是3的倍数的数字之和最大是多少?A56B66C54D52【解析】奇数之和为85,则这个5个奇数为13、15、17、19、21,由此可知这十个最大为13-22,则3的倍数为:12、15、18、21。五、比例倍数判定1.如果a:b=m:n(m,n互质),则a是m的倍数;b是n的倍数。2.如果a=(m/n)b(m,n互质),则a是m的倍数;b是n的倍数。3.如果a:b=m:n(m,n互质),则a±b应该是m±n的倍数。六、公倍数、公因数、最小公倍数、最大公因数及互质1.能同时整除一组数中的每一个数的数,称为这组数的公因数;2.能同时被一组数中每一个数整除的数,称为这组数的公倍数。【例】12∵能被2整除,也能被3整除。12∴是2和3的公倍数。2∵能整除4,也能整除12。2∴是4和12的公因数。3.一组数的所有公倍数中最小的正整数为这组数的最小公倍数;4.一组数的所有公因数中最大的正整数为这组数的最大公因数。【例】24和36所有(正)公倍数包括72、144、216等,其中72为其最小公倍数。24和36所有(正)公因数包括1、2、3、4、6、12,其中12为其最大公因数;5.如果两个数的最大公因数是1,则称这两个数互质。【例】8∵和9的最大公因数是1。8∴和9互质。7∵和14的最大公因数是7。7∴和14不互质。(一)质因子法质因子法是求最大公因数和最小公倍数的基本方法,特别适合于处理多个数字的情形,请参照下面的例题。【例】计算48和60的最大公因数、最小公倍数第一步:写出其标准分解式:48=24×31;60=22×31×51第二步:补足其标准分解式:48=24×31×50;60=22×31×51第三步:对应因子取其中指数较小的一项并将结果相乘,即24和22中取22;31和31中取31;50和51中取50。此时22×31×50=12即为48和60的最大公因数。第四步:对应因子取其中指数较大的一项并将结果相乘,即24和22中取24;31和31中取31;50和51中取51。此时24×31×51=240即为48和60的最小公倍数。(二)短除式法短除式法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法,两个数字的情形和多个数字的情形会略有不同。【例】对两个数字的情形,如求48和60的最大公因数和最小公倍数,可以通过下述短除法式:4860当出现两个互质的数字4、5时(第四步),即结束。最大公因数=2×2×3=12(第四步左侧的三个数字的乘积)最小公倍数=2×2×3×4×5=240(第四步左侧的三个数字与下边两个数字的乘积)【例】对三个数字的情形,如60、72、90(1)如果求其最大公因数则可以通过下述短除法式:607290其最大公因数=2×3=6【注】注意此时10与12、12与15、10与15均不互质(事实上10与12、12与15、10与15的最大公因数分别为2、3、5),但10、12、15这三个数互质,短除式即结束。(2)如果求其最小公倍数则可以通过下述短除法式:其最小公倍数=2×3×2×3×5×1×2×1=360【注】注意虽然10、12、15这三个数互质,但并不两两互质。此时为了求原数组最小公倍数,可以先除以其中两个数的最大公因数(不能除尽的保留),直至这些数两两互质。这是求多个(超过两个)数的最小公倍数与最大公因数的区别。七、“多位特殊数”及其对应分数1/2=0.5,1/3=0.3,1/4=0.25,1/5=0.2,1/6=0.16,1/7=0.142857,1/8=0.125,1/9=0.1,1/11=0.09由1/9=0.1,可易知其它分母为9的分数的值;由1/11=0.09,可易知其它分母为11的分数的值;由1/7=0.142857,可易知其它分数为7的分数的值,因为:2/7=0.285714;3/7=0.428571;4/7=0.571428;5/7=0.714285;6/7=0.857142八、常用无理数之对应数值=1.414,=1.732,=2.236,=2.449,=2.646,=2.828,=3.162九、和、差、倍问题求大小两个数的值1、(和+差)/2=较大数2、(和-差)/2=较小数和差问题的基本解题方法是:1、(和+差)/2=较大数较大数-差=较小数(和-差)/2=较小数较小数+差=较大数【例1】(101+103+…+199)-(90+92+…+188)=A.100B.199C.550D.990(2005年北京市真题)【答案】C。解析:提取公因式法。101-90=11,103-92=11,……,199-188=11,总计有50个这样的算式,所以50×11=550,选择C。【例2】两个数的差是2345,两数相除的商是8,求这两个数之和。A.2353B.2896C.3015D.3456(2005年北京市真题)【答案】C。解析:根据题意,两数相除商是8,则说明被除数是除数的8倍,两数相减结果2345应为除数的7倍,从而求得除数2345÷7=335,被除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