数学运算之比例问题专题

数学运算之比例问题专题关键提示：解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”；第二，“增加或下降多少”。第一节设“1”思想（是计算方法，不是解题方法）概念：未知的一个总量，但它是几并不影响结果，可用设1思想，设1思想是广义的“设1法”可以设为1，2，3等（设为一个比较好算的）。全部都是分数和比例，所以可以用设1思想，设总选票为60更加好算，60是几个分母的最小公倍数。商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克的费用分别为4.4元、6元和6.6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？看到4.4，6，6.6我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为66，然后就出来了。水变成冰后体积增加，冰变化成水时体积减少几分之几？A．B．C．D．（２００６年北京市真题）【答案】A。解析：设水的单位为1，则水变成冰后的体积为，计算冰变成水时减少的体积，应该以冰的体积为参照，即把冰的体积看成1，则（-1）/（）=。甲读一本书，已读与未读的页数之比是3：4，后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5：3。这本书共有多少页？A．152B．168C．224D．280（２００５年北京市真题）【答案】Ｂ。从题目可知，已读的部分占全书的3/7，又读了33页后，已读部分占全书的5/8，则全书共有33÷（5/8－3/7）=168页，选择B。【例1】b比a增加了20%，则b是a的多少？a又是b的多少呢？【解析】可根据方程的思想列式得a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。A/b＝1/1.2＝5/6，所以a是b的5/6。【例2】养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?A．200B．4000C．5000D．6000（2004年中央B类真题）解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，选择B。【例3】2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?A．2900万元B．3000万元C．3100万元D．3300万元（2003年中央A类真题）【解析】方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%）＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。【例4】生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?A．15B．25C．35D．40（2003年中央A类真题）【解析】这是一道涉及容斥关系（本书后面会有专题讲解）的比例问题。根据已知大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件；大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件；此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力）大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件；小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件；所以，答案为C。【例5】某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%；低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?A．2B．2.75C．3D．4.5（2003年中央A类真题）【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。奖金应为10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75所以，答案为B。【例6】某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?A．7%B．8%C．10.3%D．115%（2003年中央A类真题）【解析】根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到（300+75）×2=750人，学生人数增加的比列则为（750-700）÷700≈7.1%所以，选择A。【例7】某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P％纳税，年广告费超出年销售收入2％的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P％为A．40％B．25％C．12％D．10％（2004年江苏真题）【解析】选用方程法。根据题意列式如下：（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120即480×P％=120P％=25%所以，答案为B。【例8】甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放人乙盒，再从乙盒取出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗?A．40颗B．48颗C．52颗D．60颗（2004年浙江真题）『答案』B【解析】此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。【例9】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?A．30个B．35个C．40个D．45个（2002年A类真题）【解析】选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：（1+1.3X）×8=736X=40所以，选择C。【例10】已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：A．甲B．乙C．丙D．丁（2001年中央真题）【解析】显然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1，所以，甲＞乙＞丙＞丁，选择A。【例11】某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：A．18000元B．20000元C．25000元D．30000元（2001年中央真题）【解析】设总预算为X，则可列议程为，25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000所以，答案为B。【例12】一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：A．490元B．500元C．520元D．560元（2001年中央真题）【解析】连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：a=ca表示涨（降）价前的价格；b表示涨（降）价的百分比；c表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程：X=405，解得X=500所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。【例13】某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：A．降低了5%B．提高了5%C．提高了20%D．提高了25%（2001年中央真题）【解析】此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。所以，答案为D。【例14】某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是A．4950元B．4990元C．5000元D．5010元（2000年中央真题）【解析】采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。所以，正确答案为C。注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。【例15】某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?A．51%B．43%C．40%D．34%（2000年中央真题）解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为：70×（1-70%）＋（350－70）×（1-X）=180解得X≈43%所以，正确答案为B。【例16】某储户于1999年1月1日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20％，则该储户实际提取本金合计为A．61200元B．61160元C．61000元D．60040元【解析】如不考虑利息税，则1999年1月1日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少？（30%）像这样的反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×（1－80%）＝0.3a元。【例18】甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是（）。（2002年B类真题）A．3：5：4B．4：5：6C．2：3：4D．3：4：5【解析】我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8＝96，则X＝24，尽而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96－16－8＝72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。【例19】2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20％，而每台的价格比上一年度下降了20％。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少()?A．2900万元B．3000万元C．3100万元D．3300万元【解析】对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%）＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。