数学选修2-2教案2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法

综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.已知“若12,aaR，且121aa，则12114aa”，试请此结论推广猜想.（答案：若12,.......naaaR，且12....1naaa，则12111....naaa2n）2.已知,,abcR，1abc，求证：1119abc.先完成证明→讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→讨论：证明形式的特点②提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证3bcaacbabcabc.④出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→板演证明过程→讨论：证明过程的特点.→小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2.练习：①,AB为锐角，且tantan3tantan3ABAB，求证：60AB.（提示：算tan()AB）②已知,abc求证：114.abbcac3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论12,,QQ，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1.求证：对于任意角θ，44cossincos2.（教材P52练习1题）（两人板演→订正→小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2.ABC的三个内角,,ABC成等差数列，求证：113abbcabc.3.作业：教材P54A组1题.第二课时2.2.1综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2ababab.（讨论→板演→分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：求证3526.讨论：能用综合法证明吗？→如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→板演证明过程（注意格式）→再讨论：能用综合法证明吗？→比较：两种证法②提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.③练习：设x0，y0，证明不等式：11223332()()xyxy.先讨论方法→分别运用分析法、综合法证明.④出示例4：见教材P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为2l，截面积为2()2l，周长为l的正方形边长为4l，截面积为2()4l，问题只需证：2()2l2()4l.3.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,,PP，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）三、巩固练习：1.设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：222443cababS.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos423sinabCababC，即证：2cos23sinCC，即：3sincos2CC，即证：sin()16C（成立）.2.作业：教材P52练习2、3题.第三课时2.2.2反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：1.教学反证法概念及步骤：①练习：仿照以上方法，证明：如果ab0，那么ba②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.②出示例2：求证3是无理数.（同上分析→板演证明，提示：有理数可表示为/mn）证：假设3是有理数，则不妨设3/mn（m,n为互质正整数），从而：2(/)3mn，223mn，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则22239nmp，可见n也是3的倍数.这样，m,n就不是互质的正整数（矛盾）.∴3/mn不可能，∴3是无理数.③练习：如果1a为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为/pq（,pq为整数），即/apq.由1()/apqq，则1a也是有理数，这与已知矛盾.∴a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习：1.练习：教材P541、2题2.作业：教材P54A组3题.OABCDP