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选修4-1第2课时知能演练轻松闯关一、填空题1.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝43，则CD＝__________.解析：根据射影定理得CB2＝BD×BA，即(43)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，所以CD＝12＝23.答案：232．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析：连接BD(图略)，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案：125°3.(2011·高考广东卷)如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.解析：根据圆的性质有∠PAB＝∠ACB,而∠BAC＝∠APB，故△PAB∽△ACB，故有ABPB＝BCAB，将PB＝7，BC＝5代入解得AB＝35.答案：354．(2010·高考广东卷)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.解析：∵AP＝PB，∴OP⊥AB.又∵∠OAP＝30°，∴AP＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP2.∴CP＝AP2PD＝34a2×32a＝98a.答案：98a5.(2011·高考湖南卷)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．解析：如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝BD＝1，∴DF＝33，∴AF＝AD－DF＝233.答案：2336.(2010·高考北京卷)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________；CE＝________.解析：由圆的割线定理知：AB·AC＝AD·AE，∴AE＝8，∴DE＝5.连接EB(图略)，∵∠EDB＝90°，∴EB为直径，∴∠ECB＝90°.由勾股定理，得EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.在Rt△ECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，∴CE2＝28，∴CE＝27.答案：527二、解答题7.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD＝2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．解：连接OD，DB，则OD⊥DC.在Rt△OED中，OE＝12OB＝12OD，所以∠ODE＝30°.在Rt△ODC中，∠DCO＝30°，由DC＝2，则OD＝DCtan30°＝233，又∠CDB＝12∠COD＝30°，所以∠CDB＝∠DCO，所以BC＝BD＝OD，所以BC＝233.8.(2011·高考江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明：如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2.所以AB∶AC为定值．9.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．解：DE是⊙O的切线．如图，连接OD、CD，则OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.又AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴三角形CDB为直角三角形．又E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠ECD＝∠EDC.又∠OCD＋∠ECD＝90°，∴∠ODC＋∠EDC＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线．10.(2010·高考辽宁卷)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.11.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证：AB2＝AE·BC；(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．解：(1)证明：因为BE切⊙O于B，所以∠ABE＝∠ACB.由于AD∥BC，所以∠BAE＝∠ABC.所以△EAB∽△ABC.所以AEAB＝ABBC.故AB2＝AE·BC.(2)由(1)，知△EAB∽△ABC，所以BEAC＝ABBC.又AE∥BC，所以EFAF＝BEAC.所以ABBC＝EFAF.因为AD∥BC，所以AB＝CD.所以AB＝CD.所以58＝EF6.所以EF＝308＝154.12.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求ACBC的值．解：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC，又CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ADF＝12(180°－∠BAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACE＝∠BCA，∴△ACE∽△BCA，∴ACBC＝AEBA.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB＝∠EAC，由∠BAE＝90°及三角形内角和定理知，∠B＝30°，∴在Rt△ABE中，ACBC＝AEBA＝tanB＝tan30°＝33.13.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.(1)求PF的长度；(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．解：(1)连接OC，OD，OE，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴PFPC＝PDPO.由割线定理知，PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝PC·PDPO＝124＝3.(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF＝2－r＝1，即r＝1.所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT，则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝22.14.(2011·高考课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解：(1)证明：如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G、F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.