数学选修课开发方案

数学选修课：导数及其应用一、课程目标微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用。二、课程内容内容与要求1.导数及其应用（约16课时）（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算①能根据导数定义求函数的导数。②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于两次复合）的导数。③会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1－1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例。例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求授课讲义几个常用函数的导数一．教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．教学重点，难点重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式三．教学过程：（一）．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()yfx，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授1．函数()yfxc的导数根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx所以00limlim00xxyyx函数导数yc0y0y表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()yfxx的导数因为()()1yfxxfxxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()yfxx的导数因为22()()()yfxxfxxxxxxx2222()2xxxxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快．若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．4．函数1()yfxx的导数因为11()()yfxxfxxxxxxx2()1()xxxxxxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx函数导数1yx21yx5．函数yx的导数因为()()()()()1yfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以0011limlim()2xxyyxxxxx函数导数yx12yx6推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx（三）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4yxyxyx的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？（3）函数(0)ykxk增（减）的快慢与什么有关？解：略（四）课堂练习：画出函数1yx的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。四．回顾总结五．布置作业函数导数yc'0yyx'1y2yx'2yx1yx'21yx*()()nyfxxnQ'1nynx