数学高考模拟专家卷2013江苏

12013年江苏高考数学模拟试题（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上．1．已知集合M＝{x｜y＝lgx}，N＝{x｜y＝1－x}，则M∩N＝▲．2．已知复数z满足(z－2)i＝1＋i（i是虚数单位），则复数z的实部为▲．3．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T为▲．4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60)为考试合格，则这次考试的合格率为▲．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是▲．6、在边长为3的正方形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD相交于点F，则FD→·DE→的值为▲．7．若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝▲．8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3x－1，x≤0，f(x－1)－f(x－2)，x＞0，则f(2013)＝▲．9．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋2x－1，则不等式f(x)＜－1的解集是▲．10.已知锐角,AB满足tan()2tanABA，则tanB的最大值是▲．11．已知2()23fxxx，()1gxkx，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的▲（填“充分但不必要条件”、“必要但不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中的一个．）12．已知数列{an}满足3an＋1+an＝4(n∈N*)，且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1125的最小整数n是▲．13．在平面区域(,)||1,||1xyxy上恒有22axby，则动点(,)Pab所形成平面区域的面积为▲．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当MNBN取最小值时，CN＝▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程开始I←2T←1T≤30输出I结束T←T×II←I＋2NY（第3题图）O20406080100分数/分频率组距0.0020.0040.0080.0120.024(第4题图）ABCDMNO（第14题图）2或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上．15．（本题满分14分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋ccosA＝2bcosB．（1）求角B的大小；（2）求sinA＋sinC的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A－BCDE．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA＝1km，∠AOB＝π3．求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围．18．（本题满分16分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－1625．A（第16题图）ABCDEFBCDEFOABOABCD养殖区域Ⅰ养殖区域Ⅱ3（1）求椭圆C的方程；（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．19．（本题满分16分）已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．（1）当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线的方程；（2）求函数g(x)＝f(x)x－alnx(x＞1)的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h(x)＝f(x)＋f(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．20．（本题满分16分）已知数列na满足1111nnnnaanaa（n∈N*），且a2=6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设nnabnc（n∈N*，c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，记cn＝bn2n，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn．数学附加题21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半ABOCP4径．B．选修4—2：矩阵与变换已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,2)，B(1，1)，C(1，3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1，1)在变换T作用下变为点B1(1，－1)．（1）求切变变换T所对应的矩阵M；（2）将△A1B1C1绕原点O按顺时针方向旋转30后得到△A2B2C2．求△A2B2C2的面积．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C是以点C(2，－π6)为圆心、2为半径的圆．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求圆C被直线l：θ＝－5π12所截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12．（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X的概率分布和数学期望；（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？523．已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S2，S4的值；（2）若Tn＝7n＋1112，试比较2nS与Tn的大小，并给出证明．参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0，1]2．33．84．72%5．136．－327．2e8．－139．(－2，0)∪(1＋3，＋∞)10．2411．充分但不必要条件12．713．414．5－12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．615．（本小题满分14分）解：（1）方法一：由acosC＋ccosA＝2bcosB及余弦定理，得a×a2＋b2－c22ab＋c×b2＋c2－a22bc＝2b×a2＋c2－b22ac．………………2分化简，得a2＋c2－b2＝ac．所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝12．…………………………………………………………5分因为B∈(0，π)，所以B＝π3．…………………………………………………………7分方法二：由acosC＋ccosA＝2bcosB及正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB．………………………………………2分即sin(A＋C)＝2sinBcosB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB≠0，所以cosB＝12．…………………………………………………………5分因为B∈(0，π)，所以B＝π3．…………………………………………………………7分（2）sinA＋sinC＝sinA＋sin(2π3－A)＝32sinA＋32cosA＝3sin(A＋π6)．………………………………………………11分因为0＜A＜2π3，所以π6＜A＋π6＜5π6，所以12＜sin(A＋π6)≤1，所以sinA＋sinC的范围是(32，3]．………………………………………………14分16．（本题满分14分）证明：（1）取线段AC的中点M，连结MF、MB．因为F为AD的中点，所以MF∥CD，且MF＝12CD．……………………2分在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE＝12CD．所以MF∥BE，且MF＝BE．……………………4分所以四边形BEFM为平行四边形，故EF∥BM．又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF∥平面ABC．………………………………………………6分（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2．所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝22．又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，所以∠DEC＝90°．又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C－EFD的高．…………………………10分因为F为AD的中点，所以S△EFD＝12×12×AD·AE＝14×2×2＝1．MABCDEF7所以四面体FDCE的体积V＝13×S△EFD·CE＝13×1×22＝223．……………14分17.（本小题满分14分）解：设∠AOC＝θ，设渔网的长度为f(θ)．由CD∥OA，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝2π3，∠COD＝π3－θ．在ΔOCD中，由正弦定理，得CD＝23sin(π3－θ)，θ∈(0，π3)……………………6分所以，f(θ)＝θ＋1＋23sin(π3－θ)．………………………………8分∵f′(θ)＝1－23cos(π3－θ)，因为θ∈(0，π3)，所以π3－θ∈(0，π3)，令f′(θ)＝0，得cos(π3－θ)＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π6．θ(0，π6)π6(π6，π3)f′(θ)＋0－f(θ)极大值所以f(θ)∈(2，π＋6＋236]．答：所需渔网长度的取值范围是(2，π＋6＋236]．………………………………………14分18．（本题满分16分）解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－x1，－y1)．所以，ABk＝y2－y1x2－x1，1ABk＝y2＋y1x2＋x1，于是ABk·1ABk＝y22－y12x22－x12，由x12a2＋y12b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，得x22－x12a2＋y12－y12b2＝0，所以ABk·1ABk＝－b2a2．…………………………5分所以，b2a2＝1625，所以ba＝45．设b＝4k，a＝5k，其中k＞0．由c＝3，得25k2－16k2＝9，所以k＝1所以，椭圆C：x225＋y216＝1．………………………………………………………………………7分（2）①若l存在斜率k时，设l：y＝k(x＋3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k(x＋3)，x225＋y216＝1消去y，得(16＋25k2)x2＋150k2x＋225k2－400＝0．所以222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625kkkxxxxyykxxkkk．………10分设342525(,),(,)33MyNy，由M、A、D共线，得131(325)3()myymx，同理242(325)3()myymx．…………………………………………………………………………12分又131411111616(,),(,),033FMyFNyFMFNFMFN由已知得，得212343412325)256,99()()myyyyyymxmx（而，即222561625kk·212325)9()()mmxmx（＝－2569，整理得22(1)(16400)0km，所以m＝±5，因