数应专业《近世代数》试题2

2006级数学与应用数学《高等代数》试卷（A）第1页（共4页）玉林师范学院期末课程考试试卷课程名称：近世代数考试专业：数学与应用数学考试年级：题号一二三四总分应得分24104531满分：100实得分评分：评卷人签名一、填空题（每空2分，共24分）1、在整数集Z中定义等价关系“~”：)3(mod~baba．则由“~”所决定的等价分类为：．2、设G=a是循环群，若a，则G与加群同构。3、设G是一个6阶群，则G的真子群的一切可能的阶数是。4、设G是一个10阶群，H是G的一个5阶子群，则H在G里的指数为。5、设R是一个特征为13的交换环，则对于Rba,，有13()ab。6、对于模n的剩余类环]}1[,],1[],0{[nZn，当n是时，nZ是域。7、已知整数集R=Z关于运算ab=a+b-1,a⊙b=a+b-ab,作成一个有单位元的环（R，,⊙），则环R的单位元为，零元为。8、剩余类环Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}中，它的零因子有：。9、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是。10、整数环Z的单位是，元素5的相伴元是。二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、设整数集Z，Z的代数运算是普通乘法，下列映射是Z到Z的同态满射的有（）A、x→-x；B、x→∣x∣；C、x→x2、设H是群G的子群，a,bG，则aH=bH的充分必要条件是（）A、1baH；B、1abH；C、abH。3、下列正确的命题是（）A、欧氏环必是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环；4、在有1的环R中，下列命题正确的有（）A、R的单位必是单位元；B、R的单位元必是单位；C、R的零元必是零因子。5、若R是有单位元的交换环,则R的主理想)(a中元素的形式为（）A、(,)iiiixayxyR；B、(,)ranarRnZ；C、ra()rR三、计算题（15+10+10=35分）1、（15分）设9元置换123456789312564798，1234567895176249831）求；2）将表示为不相连的循环置换的乘积；3）求的逆元。得分评卷人得分评卷人考试时间系(院):年级:专业:班别:学号:姓名:座位号:——————————————————————————————————————————————————————密封线内不要答题∞装订∞线∞2006级数学与应用数学《高等代数》试卷（A）第2页（共4页）2、(10分)设剩余类环8{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}Z，求8Z的所有理想，并指出哪些是最大理想3、(10分)设高斯整环,RabiabZ，求商环(1)Ri，并指出此商环的零元及单位元。2006级数学与应用数学《高等代数》试卷（A）第3页（共4页）四、证明题（6+16+9=31分）1、（6分）假设1I和2I是环R的两个理想.证明:12II也是R的理想。2、(16分)已知2,RabiabZ关于普通数的加法及乘法作成一个环，(1)证明R是整环；（2）求R的所有单位；（3）求22i的相伴元；(4)证明12i是R的素元；3、（9分）在二阶矩阵构成的环22Z（运算为矩阵的加法与乘法，矩阵中元得分评卷人2006级数学与应用数学《高等代数》试卷（A）第4页（共4页）素为整数）中，令0200aSaZ，证明：（1）S是22Z的子环；（2）映射02()(),00aaaZ是整数加群Z到加群S的同构映射。