数形结合在中学数学解题中的应用

数形结合在中学数学解题中的应用重庆兼善中学：数学组——周宇摘要:数学中的两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，“数”“形”结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习研究和掌握应用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文通过举例与分析论述数形结合在中学数学中的应用。关键词:数；形；数形结合Thecombinationofnumberandform.inmiddleschoolCollegeofmathematicalandcomputerGuoZhilMingTeactherLuopingAbstractThecontradictionandunificationof“form”and“number”,twoofthebasicresearchobjectsinmathematics,areintrinsicforthedevelopmentofmathematics.combinationofnumberandformmotivatestheevolutionofmathematics.Thecombinationshouldbestudiedandappliednotonlyasoneofthemethodstosolveproblemsbutalsoabasicandimportantidea.Enhancingthecombinationabilitypromotestheunderstandingofthenaturesofmathematicalproblemsandhelpstobuildasolidmathematicalfoundation.Basedonlearnlingangteachingpractices,measuresareproposedtoraisethecombinationability.Keywordsnumber;form;combinationofnumberandform.距离公式求得的，这就是以“形”助“数”的功用。虽然本题也可以用代数的方法求解，但运算量显然大于本解法本题的代数解法：由3x+4y-1=0得y=4x31,把它代入:(x-1)2+(y-2)2=x2得:(x-1)2+(y-2)2=x2―2x+1+169x2+821x+1649=(45x+41)2+4所以x=﹣51时(x—1)2+(y-2)2的最小值为4。例2设x∈R,求函数f(x)=1xx2﹣1xx2的值域。:解f(x)=1xx2﹣1xx2=43)21x(2﹣43)21x(2=22)230()21x(―22)230()21x(A(23,21),B(23,21),P(x,0),|f(x)|=||PA|-|PB|||AB|=1,所以f(x)∈(-1,1).点评本例显著的特征是把式子理解为距离之差，从而巧妙的解决了问题。解法2f(x)=43)21x(2﹣43)21x(2=)21()21(43)21(43)21(22xxxx=)21()21(112xxxxxx所以将f(x)看作两点的斜率，可得如下做法：设C(x+1,212xx),D(x－1,212xx)则f(x)=kcdOYXCDYBA2PX且CD两点都在等轴双曲线y4322x的上半支上，直线必与双曲线的两条渐近线y=x,y=―x相交于上方。所以CD倾斜角的取值范围为{0,4}（),43）所以f(x)=Kcd∈(-1,1)解法312xx=xx21*212=120cos2122xx60cos2121*2112222xxxxxx所以与正弦定理联系可在三角形中解决问题有如下做法：由于f(x)为奇函数且f(x)=0只需研究x0时即可获得f(x)的值域，如图四边形ABCD中AB=x,∠BAD=60△ADC是边长为1的等边三角形。由余弦定理，得：BC=12xx,BD=12xx在△BCD中，由|BC-CD|CD=1,|12xx-12xx|1所以f(x)∈(-1,1)|例3函数y=2x2xx2x22的值域为（）2x2xx2x22是一分式，能不能把它看作两点连线的斜率呢?能,它实际上点P(xxxx2,222)与点A(-2,0)连线的斜率,由于x2+2x=(x+1)2-1≥-1所以点P(xxxx2,222)在射线y=x(x≥-1)上移动.因此问题变为:射线y=x(x≥-1)上的点与A(-2,0)点连线的斜率的取值范围是什摸?如图,显然当P移动到点B(-1,-1)(射线的端点)时AP的斜率最小,最小值为-1;P点越向斜上方移动AP的斜率越大,其值越来越接近于数值1(但不能取1)所以AP斜率的取值范围是[-1,1]即函数的值域为[-1,1]本例巧妙的利用了数形结合求了分式函数(分子分母都是二次的)的值域,把分式看作是两点连线的斜率,往往收到意想不到的效果,另外把2x2xx2x22看作OAPXY-1-1BACDX1160o60o是点M(x2+2x+2,x2+2x)与原点连线的斜率也可以解决问题.2函数图象的应用函数的图象也是实现代数与图形联系的一个通道,很多函数方程不等式的问题应用数形结合,可对数学知识和问题加深认识,理解透彻,思路的获得也就容易了.例4方程㏒10x=sinx的实数根的个的个数是()A1个B2个C3个D4个用代数的方法求解该方程是很困难的，因此考虑用数形结合法方程㏒10x=sinx的解是函数y=㏒10x与y=sinx图象的交点的横坐标。在同一坐标系里作出y=㏒10x与y=sinx的图象，如图，不难看出，这两个图象有三个交点，所方程有三个解所以正确选项为C。方程与函数是密切联系着的两个数学概念，方程的解是相应函数图象交点的横坐标，因此对一些解起来很困难的方程，用数形结合的方法求解是很重要的方法特别是判断方程解的个数（而不是求方程的具体解）时。例5对于每个实数x设f(x)是4x+1,x+2,-2x+4中的最小值，则f(x)最大值为（）4x+1,x+2,-2x+4中谁最小呢？这于x的取值有关，在同一坐标系里作出函数y=4x+1,y=x+2,y=－2x+4的图象。如图所示，可以很明显的看出；x为何值时4x+1最小;x为何值时x+2最小;以及x为何值时-2x+4最小,并由此得出f(x)的图象（不必列出分段函数f(x)的表达式），易见f(x)的最大值是y=x+2与y=－2x+4交点的纵坐标。解方程组y=x+2y=-2x+4得y=38O31YX42-2OYY=4x+1Y=x+2Y=2x+42X所以f(x)的最大值是38。借助函数的图象，不仅很好的理解了题意，而且轻而易举的得出了f(x)的最大值。否则需要解不等式组的方程求得f(x)的分段表达式，并求出每段上的最大值，从中选出最大值，那将是很烦琐的，环节很多，出错的可能也大大增加。例6求函数u=tt642的最值由于等号右端根号内t是同次，故作简单换元m=42t无法转换出一元二次函数求极值。若平方处理式子将会复杂化，因此该问题用常规解法较复杂难解，注意到两根号同为t的根式，故可采用两步换元。解令x=42t,y=t6则x2+2y2=16(0≤x≤4,0≤y≤22)所给函数化为以u为参数的直线y=－x+u它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图umin\n=22相切于第一象限时u最大此时方程组：y=－x+ux2+2y2=16得3x－4ux+2u2－16=0解△=0，得u=26或u=－26，又直线在第一象限，故umax=26该题为一道用常规解法较难求解的题，但运用数形结合法则起到了事半功倍的效果运用了逻辑思维，计算与迁移能力以及化归与转化的思想。三以数助形在解题时的应用一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化。即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。OYX4例7如图⊙O的半径R=5，A（10、0）是圆外的x轴上的一点，AB是⊙O的切线，B是切点，求AB的长和B点的坐标。解：AB是切线，900BA，由勾股定理可得，AB=35，过B作xBO轴于D在RtOBA中，900BAOABD根据射影定理可得：)235,25(235,25BDBOD例8如图，A、B的坐标为)3,1(（-1，0）AOB的外接圆与y轴交于D点的坐标，（2）过A作圆的切线AC交x轴于C，求C点的坐标？（1993年徐州重点高中招生试题）解：（1）由A)3,1(，B（-1，0）得CA=2，OB=1，AB=7由余弦定理得由得：120AOB由：RBOAAB2sin即3212BD在BODRT中，由勾股定理得335OD即：)335,0(D（2）设OC=x，则由切割线定理：),1(2xxAC在AOC中，余弦定理：3460cos*2222xOCOAOCOAAC即)0,34(C例9已知ABCD为正方形，在BC边上任取一点E，连结AE，AF平分DAE交CD于F。求证：AE=BE+DF。分析，这个题的几何证法之一分析，这个题的几何证法之一是可延长CB到H，使BH=DF，连结AH，再证明HEA是等腰三角形，则可得AE=HE=BE+DE，然后这个题也可利用三角法来证明。证明：（三角法）设正方形的边长为a，，则DF=a·tga,BE=a·tgactgaa2)290(,ADaHBECFBOCAYXODBAYX.2sin)290cos(aaaaAEactgaaaBEAE22sinaaaaa2sin2cos2sinaaa2sin)2cos1(DFtgaaDFBEAE是可延长CB到H，使BH=DF，连结AH，再证明HEA是等腰三角形，则可得AE=HE=BE+DE，然后这个题也可利用三角法来证明。证明：（三角法）设正方形的边长为a，，则DF=a·tga,BE=a·tgactgaa2)290(,.2sin)290cos(aaaaAEactgaaaBEAE22sinaaaaa2sin2cos2sinaaa2sin)2cos1(DFtgaa四数形结合法应注意的问题用以形助数法解决问题，要注意说明图形的特征、有哪些重要的点（特殊点）、有些什摸性质，以及性质的来源等。例10指出函数4414422xxmmxmx(m不为0)的单调区间并比较f(－)与f(－22)的大小。解f(x)=(x+2)2+m,f(x)的图象可由-2YXOm幂函数y=x2的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴平移m个单位（向上向下视m而定）得到如图.根据y=x2的性质知f(x)的图象关于直线x=－2对称且(－∞,－2)在上递增,在(－2,－∞)上递减,又点(－,0)关于直线x=－2的对称点为(－4，0)故f(－)=f(－4),而－2－4－22f(－)f(－22)以形助数中所画出的图形或图象一不定期要与原题意等价，否则就不能正确表达题意，造成错解。例11求函数)),0[(cos2sin2xxxxy的最在值和最小值。错解：函数xxycos2sin2表示定点（2，2）和单位圆上的动点（cosx,sinx）连接的斜率，当直线y=k(x-2)+2与单位圆相切时，取得最在值和最小值（如图2），由11222kkd，得374k。374最大y，374最小y.分析：上述解答中忽视了条件),0[x,将半单位圆当作单位圆了，所画的图形与原题意不等价，事实上，y表示点（2，2）与半