数形结合教学与思维能力的培养

数形结合教学与思维能力的培养四川省威远县高级职业中学陈伯康摘要：以往的“数形结合”大多出现在教师的习题课中，以灌输为主，这并不完全符合新课程理念。应寻找一种办法，能使学生在上“数形结合”的习题课之前就自主地发现数形结合的存在，并自然地使用数形结合的方法解题。培养学生思维能力。关键词：新课程高一数形结合一、“数形结合”的重要性“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。二、新课程背景下的“数形结合”如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题。笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结合”来解。如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。“为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：1、数形结合必须要讲，高一开始就要讲。2、应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。这样做的目的就是让2学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。三、关注细节，让学生主动“数形结合”笔者在去年所教的2008届毕业班学生中，发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。笔者认为，学生出现这样的问题，老师肯定是有责任的。问题应该是出在前面两年打基础的时候。所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目的地强化了一些细节，具体做法如下：第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如：在必修1第一章“集合”内容中，除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用。韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便。在必修1第二章“函数”内容中，在解释指数函数和对数函数这对反函数时，除了像书本上那样讲之外，再增加一种“形”上的解释。即把一张画了指数函数图像的薄纸翻转过来从反面去观察，从而发现对数函数。在这一过程中（如图1所示），学生感受到了x轴和y轴的对调，以及互为反函数的两函数图像关于直线xy对称的性质，更好地理解了反函数的形成。正面翻转背面（图1）在必修4第一章“三角函数”内容中，多多强调函数图像的作用，例如在三角函数值比较大小、求三角函数最值等题目中，尽量多用画图的方法解决。在必修4第二章“平面向量”内容中，由于向量同时具有“形”和“数”两个特点，是数形结合的桥梁，所以向量的题目往往有“数”和“形”两种解法。讲解例题时尽量讲两种解法，让学生理解：1、向量的有向线段表示法（即作图法）就是用平面几何知识解决向量问题，2、向量的坐标表示（即线性运算和数量积）可以把几何问题算出来。在必修5第二章“数列”内容中，用函数图像表示出等差等比数列的通项公式，这样学生就能3很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。把等差数列的前n项和公式画成函数图像，就能帮助学生理解等差数列的nS的最值问题。在必修5第三章“不等式”内容中，在解一元二次不等式时，结合二次函数图像，着重分析其几何意义，从图象上找出题目的答案。在必修2第二章“立体几何”内容中，在时间允许且学生学有余力的情况下，适当介绍建立空间直角坐标系后用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行运算的方法，让学生体会到将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算的妙处。一句话总结，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为以后做题时学生的主动“数形结合”打好基础。第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案。对于这类题目，笔者认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等。四、培养学生思维能力1．集合问题中的数形结合例1.（2008北京卷,理1）已知全集UR，集合|23Axx≤≤，|14Bxxx或，那么集合)(BCAU等于（）A．|24xx≤B．|34xxx或≤≥C．|21xx≤D．|13xx≤≤分析:不等式表示的集合通过数轴解答.解:在数轴上先画出14UBxxð,再画出集合|23Axx≤≤,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合)(BCAU,故选D答案:D评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算2.利用函数的图象解答问题例2．(07浙江)设1,1,2xxxxxf，xg是二次函数，若xgf的值域是,0，则xg的值域是（）-2-134x4A.,11,B.,01,C.,0D.,1分析：本题为复合函数，xg相当于fx中的x的值，结合函数的图象，可以求得xg的值域。解：作出函数fx的图象如图所示，由图知当,10,x时，函数fx的值域为,0，而xgf为复合函数，xg相当于fx中的x的值，所以xg的值域是,01,，故选B。答案：B评注：本题中的复合函数要转化为原函数fx和xg的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数xg的解析式。例3．（2008广东深圳中学）若baybax则函数,1,1的图象必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:由1a知函数图象单调递增,由1b知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.答案:B评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.例4．（宁夏区银川一中2008）函数11ln)(xxxf的零点的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个分析：函数11ln)(xxxf的零点的个数就是方程1ln01xx的解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。解：11ln)(xxxf的零点，即使1ln01xx，作函数lnyx的图象和函数11yx的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选B答案：B评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答3.利用导函数图象解答问题例5．（2008金华一中模拟）函数)(xfy的图象过原点，且它的导函数)('xfy的图象是如图所示的一条直线，则)(xfy的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由导函数)('xfy的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。解：它的导函数)('xfy的图象是如图所示的一条直线，可知原函数oyxxy10-101xyyfx5)(xfy为二次函数，设解析式为20fxaxbxca，由于函数)(xfy的图象过原点，所以0c，'()2yfxaxb为减函数，∴0a，由)('xfy的图象可知当000xxx时0'0fx，函数)(xfy的图象过原点，所以顶点在第一象限评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。例6.（2009莱阳）设'fx是函数()fx的导函数，将()yfx和'yfx的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断.A,B,C都有可能成立,排除A,B,C,选D答案:D评注:正确图象判断的原则为:函数的单调增,则导函数值为正,函数的单调减,则导函数值为负.4．利用不等式表示的平面区域解答问题例7．（2008年安徽卷，理15）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为分析：作出不等式表示的平面区域，然后再作平行线2xy和1xy则夹在两平行线之间的部分即为所求。解：如图知ACD是斜边为3的等腰直角三角形，OEC是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积13173112224ACDOECSSS阴影评注：涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形数形结合解答问题。