数形结合的思想方法高考题选讲

数形结合的思想方法(2)---高考题选讲1数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”1.注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系：_______.解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则.【例2】如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）.解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ.【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.【例３】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业数形结合的思想方法(2)---高考题选讲2用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）.Ａ.与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上Ｂ.与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上Ｃ.与市中心距离为５km的区域外Ｄ.与市中心距离为5km的区域内解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B.【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.2.注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）0的解集是____.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）0的解集为（-2，0）∪（2，5］.【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（B）的充要条件是（）.Ａ.m-1，n5Ｂ.m-1，n5Ｃ.m-1，n5Ｄ.m-1，n5解：先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-10和x+y-50所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3.注重对思维的灵活性和创造性的考查【例６】已知点Ｐ是椭圆上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则的取值范围是（）.数形结合的思想方法(2)---高考题选讲3解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动Ｐ点到长轴端点，ＯP值逐渐增大，逐渐接近，当移动Ｐ点到短轴端点时PF1＝PF２，取最小值0.从而判断出答案为Ｄ.【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.4.注重方法的通用性、应用性，突出能力考查【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MN∥CD）.（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？解：由M（60，98），C（500，168），N（500，230）.∵MN∥CD.设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA（x），fB（x），（1）通话两小时的费用分别是116元和168元.（2）由fB（n+1）-fB（n）=0.3（n500）或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.（3）由图知：当0≤x≤60时fA（x）fB（x）；当x500时fA（x）fB（x）；当60x≤500时，令fA（x）fB数形结合的思想方法(2)---高考题选讲4（x）得x，即通话时间为（，+∞）时方案B较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例8】.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为30332xxxmx即：30212xxm()设曲线y1＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1,x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。【例9】.直线L的方程为：x＝－p2(p0),椭圆中心D(2＋p2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(p2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：ypxxpy22222241[()]，消y得：x2－(4－7p)x＋(2p＋p24)＝0所以△＝16－64p＋48p20,即6p2－8p＋20，解得：p13或p1。结合范围(p2,4+p2)内两根，设f(x)＝x2－(4－7p)x＋(2p＋p24)，所以p2472p4+p2即p12，且f(p2)0、f(4+p2)0即p－4＋32。数形结合的思想方法(2)---高考题选讲5结合以上，所以－4＋32p13。【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。【例10】.设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m2＋15}(m∈Z)，C＝{(x,y)|x2＋y2≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n2＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15;设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝144有公共点，所以圆心到直线距离d＝||315122nn＝3(n21＋412n)≥12∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15,即b＝3n2＋15－an（①式）；由(a,b)∈C得，a2＋b2≤144（②式）；把①式代入②式，得关于a的不等式：(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0（③式）,它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)2因为n是整数，所以n2－3≠0,因而△0，又因为1＋n20,故③式不可能有实数解。所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立【例11】已知f（x）=ax+b，2a2+6b2=3，证明对任意x∈［－１，１］恒有f（x）≤.【点拨】从等式2a2+6b2=3联想到几何图形：椭圆.于是一个好解法出现了.数形结合的思想方法(2)---高考题选讲6这是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰骋.【例12】设p=（log2x）2＋（t-2）log2x+1-t，当t∈［－２，２］时恒有p0，求x的范围.【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t的范围不是确定了吗？而且发现p是关于t的一次函数.这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t降幂排列：p=f（t）=（log2x-1）t+log22x-2log2x+1，∵t∈［－２，２］时p0恒成立（如图2），∴f（－２）0且f（２）0，∴x8或0x.简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简了.【例13】设x≥1，求点Ａ（x+，x-）与点Ｂ（１，０）之间的距离的最小值.【点拨】Ａ是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？令z=x+，y=x-，则y2-z2=-4（z≥2）.这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支.用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断ＡＢmin=1.【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆.这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了.如图３所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c，【例14】数形结合的思想方法(2)---高考题选讲7丰富的想像，是数向形转化的前提，外形的启发，是构造图象的直接