数形结合解决一元二次方程根的分布问题

1一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思想：若y=()fx与x轴有交点0xf(0x)=0。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理1】：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。【定理2】：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性。2【定理3】210xx0ac【定理4】○101x，02x0c且0ab；○201x，02x0c且0ab。二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。构造相应二次函数cbxaxxf2)(（0a）【定理1】21xxkkabkafacb20)(042【定理2】kxx21kabkafacb20)(042。3【定理3】21xkx0)(kaf。【定理4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkf【定理5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa【定理6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb4三、练习题*1.关于x的方程x2+ax+a1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。(a1)*2.如果方程x2+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。(a3)*3.若方程8x2+(m+1)x+m7=0有两个负根，求实数m的取值范围。(m7)*4.关于x的方程x2ax+a24=0有两个正根，求实数a的取值范围。(a2)5．设关于x的方程4x24(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于1，另一个实根小于1，则m,n必须满足什么关系。（(m+2)2+(n+2)24）6．关于x的方程2kx22x3k2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。（k4或k0）7．实数m为何值时关于x的方程7x2(m+13)x+m2m2=0的两个实根x1,x2满足0x1x22。（2m1或3m4）8．已知方程x2+(a29)x+a25a+6=0的一根小于0，另一根大于2，求实数a的取值范围。（2a8/3）9．关于x的二次方程2x2+3x5m=0有两个小于1的实根，求实数m的取值范围。（9/40≤m1）10．已知方程x2mx+4=0在1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围。