数形结合在初中数学中的应用举例东坑中学黄凤玲

1数形结合在初中数学中的应用举例东坑中学黄凤玲【摘要】数形结合是数形渗透，由“数到形”，再由“形到数”的相互转化中求解的一种数学思想和方法。它能使复杂问题简单化，抽象问题直观化，是初中数学中常见的解题思想和方法，是一种有效的解题策略。本文结合初中数学教学的内容及例题分析，剖析数形结合在初中数学中的应用。【关键词】数形结合思想方法例题应用数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系的过程，经过推导、运算的分析，以形成解释、判断和预言的的方法。加强数学思想方法的教学能优化课堂教学，有利于把握好能力目标的发展点，培养学生的创新意识，进而提高学生的数学素质。数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。“以形助数”和“以数辅形”是其两个方面。应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。初中数学中，实现数形结合，常以下列内容有关：①数轴上的点与实数的对应关系；②函数与图像的关系；③所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；④方程（组）与不等式（组），平面几何等。1以形助数，直观易懂“形”具有形象、直观、简洁明快的特点，能表达具体思维，起着解决问题的关键。对部分比较抽象的数学内容，数量难以把握，这就需要我们把与数量关系相对应的图形找出来，利用图形来解决问题。1.1“以形助数”在教学中的应用1.1.1理解绝对值的意义分析与思考：所谓绝对值，是指在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。对于刚上初一的学生，绝对值的概念及意义既抽象又陌生。利用数轴可直观，形象地帮助学生深刻理解绝对值的几何意义，从而推导出绝对值的代数意义，进一步把握了绝对值的本质。导学过程：如图1，观察图形填空：①到原点距离是1的数有；则1②到原点距离是2的数有；则2=③到原点距离是3的数有；则3=④到原点距离是0的数有.则0=图1-33-11-22O2结论：①一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是；0的绝对值是。则：)0()0()0(aaaaaaa②任何一个有理数的绝对值都是（选填“正数”，“负数”，“0”，“正数或0”）则a0（选填：“≤，≥，＜，＞”）。1.1.2理解余角的性质：同角（或等角）的余角相等分析与思考：初中几何中三角形的全等问题、相似问题中，经常出现用“同角（或等角）的余角相等”证明角相等。能正确灵活运用此知识点，对顺利解题起关键的作用。借助数形结合思想可帮助学生熟知并会运用这知识。导学过程：如图2①已知1与2互余，401，则902=°；已知3与4互余，203，则904=°；显然，24（填“=”或“≠”）。②已知1与2互余，401，则902=°；已知3与4互余，403，则904=°；显然，24（填“=”或“≠”）。③已知1与2互余，351，则902=°；已知3与4互余，353，则904=°；显然，24（填“=”或“≠”）。④已知1与2互余，则902；已知3与4互余，则904；如果31，显然，24（填“=”或“≠”）。结论：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等。图243213简单地说：等角的余角。⑤观察图3，填空31°（90°）即1与3互为角；32°（90°）即2与3互为角；所以12（填“=”或“≠”）。结论：如果两个角的余角是同一个角，那么这两个角相等。简单地说：同角的余角。综合得出余角的性质：同角（或等角）的余角相等.⑥“同角（或等角）的余角相等”图例图3321D=C图4DCBA图52=31=443213=41=2=55图643212=41=3图7432141.1.3理解非完全平方数的算术平方根和平方根.分析与思考：对于求完全平方数的算术平方根，学生容易理解。如由算术平方根的定义：已知1642，则4是16的算术平方根；而对于非完全平方根的算术平方根的求法（如2的算术平方根是2），学生不容易理解，是教学的难点。通过数形结合的数学方法，能取得不错的效果。例1.1求2的算术平方根.导学过程：通过拼正方形的方法：把两个面积为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。如图8。分析：利用图8，让学生感受到，的确存在一个正数的平方数是等于2。解：设大正方形的边长为x，则由算术平方根的定义可知：22x，2x类似问题，如求3、5、7等非完全平方数的算术平方根和平方根，就迎刃而解。拓展：推导公式)0()(2aaa由例1可知，面积为2的正方形的边长是2；结合正方形面积计算方法得：222，则2)2(2。图形表示如图9类似地，面积为3的正方形的边长是3，则3)3(2；面积为5的正方形的边长是5，则5)5(2；面积为7的正方形的边长是7，则7)7(2；﹍﹍面积为aa(＞0)正方形的边长是a，则aa2)(；S=2S=1S=1图8图922S=2图10aaS=a775533S=7S=3S=551.1.4掌握不等式（组）的解法.分析与思考：不等式（组）有无数多个解，要加深学生对不等式（组）解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，才能让学生形象地看到不等式（组）有无数多个解。因此，确定一元一次不等式（组）的解集时，用数轴能更为直观、更为有效。例1.2解不等式组①②解：解不等式①，得1x；解不等式②，得4x；把不等式组的解集在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是41x.变式训练1：求不等式组13214)2(3xxxx的整数解.分析：此题，是求不等式组的特殊解。解题的步骤是：先解不等式组，然后在所求的解集中，找符合要求的答案。因为有了例2作为铺垫，再结合数轴上的直观表示，很容易就得答案：1，2，3是此不等式组的整数解。变式训练2：填空，已知不等式组13axx的解集是2x，则a的值为。分析：本题先给出不等式组的解集，要求确定不等式中字母的取值。是逆向思维的训练，是教学上的一个难点，但利用数轴，能巧妙解题，直观而简单。步骤如下：①在数轴上表示不等式的解集，如图11；②考虑1ax在数轴上位置。显然，从观察数轴可知，,21a1a1.2“以形助数”在解题中的应用1.2.1用图解法妙解方程组、不等式图解法是根椐数学问题的条件和结论之间的内在联系，借助于某种图形或构造出某种图形，使数量关系和空间形式巧妙结合起来的解题方法。它是数形结合思想在数学解题中的一种重要的解题方法.例2.1已知直线bxy3和直线3axy相交于点P（-2，-5），求关于x的不等式-1-2-354321013214)2(3xxxx图11-1-2-3543210633axbx的解集。分析与思考：本题解法有2种：一种是代数解法，是把点P直接代入两直线的解析式，求出ba,的值，再解不等式33axbx即可；另一种是图解法，由题意可知，直线bxy3经过点P（-2，-5），可估算b是正数，从而确定直线bxy3经过一、二、三象限；而直线3axy经过点P（-2，-5），且与y轴的交点是（0，-3），可确定直线3axy必经过一、三、四象限。这样，就可以大致正确地画出函数的图象，利于解题。解法1：把点P（-2，-5）分别代入bxy3和3axy中，得-6+b=-5-2a-3=-5b=1a=1所以，13xy，3xy解不等式：313xx2x即，关于x的不等式33axbx的解集是2x.解法2：由题意，画出图像，如图13.观察图像得：33axbx的解集是2x.显然，本题的两种解法中，利用数形结合的思想方法，能避开复杂的计算，直观简单地得出问题的结论。1.2.2从数思形，解决函数问题利用图象研究函数的性质，是常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。例2.2点P（yx,）在第一象限，且8yx，点A的坐标为（6，0），设OPA的面积为S。（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围。（2）当点P的横坐标为5时，OPA的面积为多少？分析与思考：用纯代数法求解难以完成。应设法将问题转化。可根据题意，建立平面直角坐标系，画出函数的图象，标出点A的位置。观察图形，易发现OPA的底是0A，高是点P的纵坐标，问题迎刃而解。解：由8yx得xy8，用两点法画出直线xy8.如图14图13Py=ax-3y=3x+bOyx-5-20880y=8-xx7所以，D（0，8），C（8，0）.（1）作BxPB轴于点，∵,8xy且点P（yx,）在第一象限，∴xyPB8∵A（6，0）∴OA=6∴PBOAS21=)8(621x=243x又∵C（8，0）∴OD=8所以x的取值范围是：80x.（2）当5x时，S=-3×5+24=9即，当点P的横坐标为5时，OPA的面积为9.例2.3某超市构进一种单价为40元的篮球。如果以单价50元出售，那么每月可售出500个。根据销售经验，售价每提高1元，销售量就相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元（)50x，每月销售这种篮球获利y元。（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）物价员认为，当篮球定价为65元时，该月可获得最大的利润。你认为这观点合理吗？为什么？并求出该月的最大利润。（3）篮球定价在什么范围内，该超市就可获得利润？分析与思考：由题目给出的条件，可得知，利润y关于定价x是呈二次函数关系；问题（2）是求利润的最值问题，可利用最值公式或化顶点式来解决；问题（3）是求定价的范围，按常规思路是建立不等式来解题。但目前学生求解不等式只限于会解一元一次不等式，解一元二次不等式仍是一个数学难题。故需另觅解题途径：可把数转化成形，利用二次函数的图象解一元二次不等式，得出x的取值范围。解：（1）10)50(500)40(xxy=400001400102xx（2）400001400102xxy=9000)70(102x显然，要获取该月最大的销售利润，篮球CDBP(x,y)(6,0)Ay=8-xx图14Oy8定价为65元，不合理。应定价为70元，则该月可获最大利润为9000元。（3）用五点法画出函数的大致图象。如图15.观察图象可知：抛物线在横轴上半方就是表示获得利润大于零。图象所对应x轴上两个界点数是40和100。所以，当10040x时，0y。即当篮球定价大于40而小于100的范围内进行销售，超市就可以获得利润。2以数辅形，优化解题方法数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现“数形结合”。2.1寻找规律，借助“以数辅形”用数的精确性和规范性来表示图形的变化情况，进一步找出其某些属性（如变化规律）。例2.1如图16所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形需要几个小正方形？拼成的第n个正方形比第)1(n个正方形多几个小正方形？分析：第1个正方形，需小正方形的个数是4，42)11(22；第2个正方形，需小正方形的个数是9，93)21(22；第3个正方形，需小正方形的个数是16，2)31(1642；﹍﹍第n个正方形，需小正方形的个数是2)1(n。解：拼第n个正方形，需小正方形的个数是2)1(n，拼第（n-1）个正方形，需小正方形的个数是2)11