数据的基本分析数据特征值的计算

第三章数据的基本分析本章提要算术平均数和几何平均数的计算算术平均数的性质极差、方差和标准差的计算方差与标准差之间的关系标准差的性质第一节平均值——数据集中性平均值的计算平均值（mean、average）——观测值的平均水平和集中趋势的表示常用的平均值有：算术平均数几何平均数调和平均数众数中位数百分位数在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何平均值最为常见，使用最频繁调和平均数一般用在速度类问题方面众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多算术平均数（arithmeticmean）是最常用的平均值，简称为平均值，或均值算术平均数有两种计算方法：1、直接法2、加权法在次数分布表或资料分类的基础上进行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（weightedmean）或：111niixxxnn112212......iikkkinxnxnxnxwnnnn112212......iikkiikifxfxfxfxwfxffff加权法第二式中的是频数：而加权平均值用表示，在很多情况下，与算术平均值不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的组中值作为每一组的组平均值时更是如此直接法所得到的平均值有两个基本性质：1、离均差之和为零，用公式表示，即2、离均差平方和为最小，即其中，为不等于的任意一个数：iiiinnfnn1ifwwxix0xx22xxxaaxxifa用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学们可以自己加以证明需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质（因此，一般不计算加权平均值）对于总体来说，我们通常用表示其平均数当总体为有限，且总体容量为时，总体平均值的计算公式为：但一般情况下，总体平均值总是未知的，需要用样本平均值来进行估计，因此，样本的代表性就显得尤为重要NixN几何平均值（geometricmean）主要用于非线性数据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的平均值几何平均值用表示：在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：分组资料几何平均值的计算公式为：G11212......nnnnGxxxxxx111211lglglg...lglglgniGxxxxnn11lglgiiGfxn算术平均数一般用在加性（additive）资料、或称线性（linear）资料中所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一个数据可分解成若干个可加的部分，如人体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近似服从正态分布几何平均数一般用在非加性（non-additive）或非线性（non-linear）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的平均效价、抗体滴度等调和平均值（harmonicmean）一般用在平均速度、“有效群体”等方面，其公式为：12111111...innHxnxxx第二节变异数——数据离散性变异数的计算变异数（variable）——观测值离散程度的表示，用来表示平均值代表性的强弱变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性好因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统计量常用来表示数据离散性的变异数有以下几个：极差方差标准差极差（rangeR）将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：23，25，26，31，45，47，48其极差为2523，32，32，34，36，36，48其极差为25显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于25方差（varianceVs2）合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数据均与平均值相减显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为0（算术平均数的第一个性质）将这些差值平方以后再相加，得到一个值这个值不会等于0，且由于各个差值都平方了，其中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了2但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（SS）平均一下，以利于比较如上例的两批数据：23，25，26，31，45，47，48其平均值为35离均差平方和为SS＝754，用自由度平均一下，得125.66723，32，34，34，37，37，48其平均值为35离均差平方和为SS＝332，用自由度平均一下，得55.333显然第二个样本较第一个样本要集中一些125.667为第一个样本的方差值（S2）55.333为第二个样本的方差值（S2）方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便标准差（standarddeviation)将方差开一下平方根，得上例中，第一个样本的标准差为11.21第二个样本的标准差为7.44标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：总体：样本：是参数是统计量22ssxs2,2,xs标准差的计算公式总体标准差：样本标准差：上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部分变来的，请同学们作为作业自行推导比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用总体含量N来得到，而样本标准差则用n-1来得到222iiixxxNNN22211iiixxxxnsnnn-1在这里称为自由度（degreeoffreedomdf）自由度的含义和说明对于样本容量为n的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，即n个离均差，由于受的限制，只有n-1个离均差是自由的，有一个离均差失去了自由在统计学中，若某个统计量的计算受到k个条件的限制，则其自由度就为n-k，在估计样本方差时受到了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是n-1；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是n0xx样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总体方差由于，根据平均数的第二个性质可知，必小于，因此如用必定偏小将分母改为n-1，则可适当增大值，使样本方差的数学期望更接近于总体方差因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好地、无偏（unbias）地估计总体方差x2ixx2ix2222iixxxsnN来估计2s小样本资料必须用n-1来计算方差，即标准差，大样本时n与n-1相差无几，因此大样本时也可用n代替n-1由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况下仍宜使用n-1在一般情况下，样本方差通常也称为均方（Meanofsquare），用或表示之加权平均数的标准差公式：2sMS221iiiifxfxnsn有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单的方法来表示一个样本或一批资料：标准差的特性变量越离散，标准差越大；反之，标准差越大，表示数据越离散，资料的变异程度越大各变量加减一个常数，标准差不变各变量乘一个常数a，标准差将扩大a倍,xsn资料服从正态分布时，观测值的分布为：68.27％的数据分布在的范围内95.45％的数据分布在的范围内99.73％的数据分布在的范围内另外还有两个十分重要的分布范围：内包含了95％的变量内包含了99％的变量231.962.58变异系数（coefficientofvariationc.v.）不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标准差相对化，变异系数就是相对化的标准差：变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均数的影响，因此变异系数不能单独使用，在计算变异系数时必须将平均值和标准差同时标出变异系数只有在资料间相互比较时才使用(*)100scvx％end