数据结构第6章习题答案

1第6章树和二叉树习题解答一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分）（√）1.若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。（√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。（×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。（×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。（应当是二叉排序树的特点）（×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。（应2i-1）（×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。（×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。（正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。（√）10.〖01年考研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5二、填空（每空1分，共15分）1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。2.【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+n2=n0-1=31个分支结点和26-1=32个叶子。注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。（注：用log2(n)+1=8.xx+1=94.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝3505.设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有500个叶子结点，有499个度为2的结点，有1个结点只有非空左子树，有0个结点只有非空右子树。答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500，n2=n0-1=499。另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0.6.【严题集6.7③】一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为n，最小深度为2。答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。)7.【试题1】二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按NLR次序），后序法（即按LRN次序）和中序法（也称2对称序法，即按LNR次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是FEGHDCB。解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果；法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。由前序先确定root，由中序先确定左子树。例如，前序遍历BEFCGDH中，根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。法3：递归计算。如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。如法对B的左右子树同样处理，则问题得解。8.【全国专升本统考题】中序遍历的递归算法平均空间复杂度为O(n)。答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1，包括叶子的空域也递归了一次。9.【计算机研2001】用5个权值{3,2,4,5,1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是33。解：先构造哈夫曼树，得到各叶子的路径长度之后便可求出WPL＝（4＋5＋3）×2＋（1＋2）×3=33(15)(9)(6)（注：两个合并值先后不同会导致编码不同，即哈夫曼编码不唯一）453(3)（注：合并值应排在叶子值之后）12（注：原题为选择题：Ａ．32Ｂ．33Ｃ．34Ｄ．15）三、单项选择题（每小题1分，共11分）（C）1．不含任何结点的空树。（Ａ）是一棵树;（Ｂ）是一棵二叉树;（Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树;（Ｄ）既不是树也不是二叉树答：以前的标答是B，因为那时树的定义是n≥1（C）2．二叉树是非线性数据结构，所以。（Ａ）它不能用顺序存储结构存储;（Ｂ）它不能用链式存储结构存储;（Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储;（Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用（C）3.〖01年计算机研题〗具有n(n0)个结点的完全二叉树的深度为。(Ａ)log2(n)(Ｂ)log2(n)(Ｃ)log2(n)+1(Ｄ)log2(n)+1注1：x表示不小于x的最小整数；x表示不大于x的最大整数，它们与[]含义不同！注2：选（A）是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎log2(n)+1是对的？（A）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是。（Ａ）唯一的（Ｂ）有多种（Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子（Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子5.【P11】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。树是结点的有限集合，它A根结点，记为T。其余的结点分成为m（m≥0）个B的集合T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点T称为Ti的父结点，Ti称为T的子结点（1≤i≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的C。供选择的答案A：①有0个或1个②有0个或多个③有且只有1个④有1个或1个以上3B:①互不相交②允许相交③允许叶结点相交④允许树枝结点相交C：①权②维数③次数（或度）④序答案：ABC＝1，1，36.【P13】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。二叉树A。在完全的二叉树中，若一个结点没有B，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的C，而N的右子女是它在原树里对应结点的D。供选择的答案A：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④有是只有二个根结点的树形结构B:①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点④兄弟C～D：①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟答案：A=B=C=D＝答案：ABCDE＝2，1，1，3四、简答题（每小题4分，共20分）1.【严题集6.2①】一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别？答：度为2的树从形式上看与二叉树很相似，但它的子树是无序的，而二叉树是有序的。即，在一般树中若某结点只有一个孩子，就无需区分其左右次序，而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。2.〖01年计算机研题〗设如下图所示的二叉树B的存储结构为二叉链表，root为根指针，结点结构为：（lchild,data,rchild）。其中lchild，rchild分别为指向左右孩子的指针，data为字符型，root为根指针，试回答下列问题：1.对下列二叉树B，执行下列算法traversal(root)，试指出其输出结果；2.假定二叉树B共有n个结点，试分析算法traversal(root)的时间复杂度。（共8分）二叉树B解：这是“先根再左再根再右”，比前序遍历多打印各结点一次，输出结果为：ABCCEEBADFFDGG特点：①每个结点肯定都会被打印两次；②但出现的顺序不同，其规律是：凡是有左子树的结点，必间隔左子树的全部结点后再重复出现；如A，B，D等结点。反之马上就会重复出现。如C，E，F，G等结点。时间复杂度以访问结点的次数为主，精确值为2*n，时间渐近度为O(n).3.〖01年计算机研题〗【严题集6.27③】给定二叉树的两种遍历序列，分别是：前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I；中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F，试画出二叉树B，并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。解：方法是：由前序先确定root，由中序可确定root的左、右子树。然后由其左子树的元素集合和右子树ABDCFGEC的结点类型定义如下：structnode{chardata;structnode*lchild,rchild;};C算法如下：voidtraversal(structnode*root){if(root){printf(“%c”,root-data);traversal(root-lchild);printf(“%c”,root-data);traversal(root-rchild);}}4的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定root的左右孩子。将他们分别作为新的root，不断递归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。DACFEGBHI4.【计算机研2000】给定如图所示二叉树T，请画出与其对应的中序线索二叉树。解：要遵循中序遍历的轨迹来画出每个前驱和后继。中序遍历序列：55402560280833542825334060085455五、阅读分析题（每题5分，共20分）1.（P604-26）试写出如图所示的二叉树分别按先序、中序、后序遍历时得到的结点序列。答：DLR：ABDFJGKCEHILMLDR:BFJDGKACHELIMLRD：JFKGDBHLMIECA2.（P604-27）把如图所示的树转化成二叉树。答：注意全部兄弟之间都要连线（包括度为2的兄弟）,并注意原有连线结点一律归入左子树，新添连线结点一律归入右子树。ABECKFHDLGIMJ3.【严题集6.17③】阅读下列算法，若有错，改正之。2825334060085455BiTreeInSucc(BiTreeq){//已知q是指向中序线索二叉树上某个结点的指针，//本函数返回指向*q的后继的指针。r=q-rchild;//应改为r=q；if(!r-rtag)while(!r-rtag)r=r-rchild;//应改为while(!r-Ltag)r=r-Lchild;returnr;//应改为returnr-rchild；}//ISucc答：这是找结点后继的程序。共有3处错误。注：当rtag＝1时说明内装后继指针，可直接返回，第一句无错。当rtag＝0时说明内装右孩子指针，但孩子未必是后继，需要计算。中序遍历应当先左再根再右，所以应当找左子树直到叶子处。r=r-lchild;直到LTag=1；282540555560330854NILNIL54.【严题集6.21②】画出和下列二叉树相应的森林。答：注意根右边的子树肯定是森林，而孩子结点的右子树均为兄弟。六、算法设计题（前5题中任选2题，第6题必做，每题8分，共24分）1.【严题集6.42③】编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。解：思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历递归算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其打印出来。法一：核心部分为：DLR(liuyu*root)/*中序遍历递归函数*/{if(root!=NULL){if((root-lchild==NULL)&&(root-rchild==NULL)){sum++;printf(%d\n,root-data);}DLR(root-lchild);DLR(root-rchild);}return(0);}法二：intLeafCount_BiTree(BitreeT)//求二叉树中叶子结点的数目{if(!T)return0;//空树没有叶子elseif(!T-lchild&&!T-rchild)return1;//叶子结点elsereturnLeaf_Count(T-lchild)+Leaf_Count(T-rchil