张量分析.

第一节问题的提出第二节矢量的基本运算第三节坐标变换及张量的定义自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；坐标系引入后的相关表达式冗长引入张量方法§A－1指标符号),,(n21ixi下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xinxx,x21记作指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～u,v,wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji),,,(～～一．若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa),,(又如：zyx332211jjii重复不止一次的指标，求和约定失败求和约定仅对字母指标有效，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如31i31ijiijjiijxxaxxaz331234哑标可以换用不同的字母指标2.求导记号的缩写约定jijijjxuux,,)()(22,,()()ijkijijijuuxxxxk3.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如jijibxaj为自由标j=11313212111bxaxaxa同一个方程中各项自由标必须相同不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变12kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：二．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：jijiij当当01由定义111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性质：jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3,三．Ricci符号kjie定义：011ekji即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee共27个分量，亦称为排列符号、置换符号kijijkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA)A(aaaeaaaeaaaaaaaaakjikjikjikji71321321322311332112312213ｅ-δ恒等式)(81Aeetisjtjsitskjik由此得633ee23eejjkjjkkkjjkjikjiskkskskjjsksjjsjikji§A－2矢量的基本运算ia分量矢量a标方向的单位矢量）(个坐基矢量3eee321)12(33221Aaaaaiieeeea1说明任意矢量可以表示为基矢量的线性组合12基矢量不是唯一的1.点积基矢量点积)22(Aδijjiee任意两矢量的点积3)2(Ababaδbabajjiiijjijijieeba1212.叉积基矢量的叉积)A(ekji42kjieee由于kjkieeeekjkiδδktt321jieeeeeeeekjitjisjritsrjjjiiieeδδeδδδδδδ321321特别地：33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比较：）两个任意矢量的叉积)52(Abaeebababajikjikjijijijiceeeeeebakkjiji23.混合积基矢量混合积)72()(Aeδeekjikrrjirjikrkjieeeee故也有定义)()(kjikjieeeeeekjie1矢量混合积()(26)ijkijrijkijrkrijkijkeabceabcδeabcAkrabcee表示的是以为边长的平行六面体的体积。cb,a,24.并矢（并乘）定义：jijieeeeabjijibaba展开共9项，可视为并矢的基ijeejiba为并矢的分解系数或分量§A－3坐标变换与张量的定义'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x2e'1e1.平面笛卡儿坐标系旋转变换1e'e2'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x),j,i()cosα'ji'21(jie,e'令：cossinsincosαji')cos()cos()cos()cos(22122111e,ee,ee,ee,e''''则：'1e2e'e21e)(21212212211121'''''''xxxxxxji于是：'''''''''21212221121121xxxxxxTji同样：'''21121xxxxji）式得由（1'':jiTji比较]['ji为正交矩阵引用指标符号：jjiixx''jjiixx由kkjijjjiixxx''''又ikkjijkikixx''讨论:上式的几何意义说明1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律''jijieeee''ijji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律''''jijijjiivvvv'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x'1e2e'e21e2.三维情况''jiij''jijieeee考虑一位置矢量''''ijijjjeeeeeex''jjjjxxxx''''iijjjxxcosx)('ije,ejjiixx''同理''jijixx同二维问题，可得ikkjij''（正交性）可试证：''''kijkji3.张量定义定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量'''''''''''''''lkjillkkjjiiijklijklkkjjiilkji自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）()ijklijklφeeee可写成上式的量也称为张量（第二种定义）讨论''ijklTT''ijklTeeee12上述表达式具有不变性特征；张量分量与坐标系有关；ijT3在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT符合,为一新张量§A－4张量代数以二阶张量为例说明1.加减法只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量如：张量A,B''''jijijijieeeeBeeeeA''''jiijjiijBBAAΤeeeeBAjijiijijijT)BA(ijklijklφeeee另证：)(''''''''''''''''jjiiijijjjiijijiijjjiijiijjjiijiBABABBAA''jiTijT符合,为一新张量ijklkkjjiilkji'''''''交换律：结合律：ABBACBACBA)()(2.矢量与张量的点积ijiTaijiTeeae12左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘:kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTδaTa)()(Tkji时相等只有一般jiijTT,aTTa点乘得到的新张量比原张量低一阶3.矢量与张量的叉积左叉乘AkrkrkjieeeeeeeTakjirjirjikjikjiTaeeTa)T()a(12右叉乘BeeeeeeeaTriikjikjirkjrrkjkjikjiaTeeaTaT)()(aTTa一般叉乘得到的新张量与原张量同阶4.张量与张量的点积SeeeeeeeeeeeeeeBAtsjitsjitsrkjitskkjirktsrkjitsrkjiBABABA)()(两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2。5.张量的双点积tititsrkjieeeeeeeeeeBAtjkjkiskjrstrjkistrjkiBABABA)(:)(:两个张量双点积的结果仍为张量，新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4。6.张量的双叉乘tnmitnmitsrkjieeeeeeeeeeeeeeBArstjkiksnjrmksnstrjrmjkistrjkiBAeeeBeA)B()A(两个张量双叉乘的结果仍为张量，新张量的阶数为原两个张量的阶数之和减2。7.张量缩并jieejiAA对A进行缩并332211iijijijiAAAAAAjieeA将其中的二个基矢量点乘，得到比原张量低二阶的新张量。二阶张量相当于将对角元素求和，高阶张量相当于分量的某两个指标相同。8.指标置换kjieeekjiAA若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如：kjikjieeeeeekjikijBA指标置换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到。kjikjikijeeeeeeeeekjikijkjiBAA9.对称化和反称化对于二阶张量：ijjiTT对称，有6个独立分量ijjiWW反对称，有3个独立分量高阶：对称形式多样ikjlijklEE关于j,k对称的四阶张量jikijkBB关于j,i反对称的三阶张量对称化：对称jijiijjijiTTAA21T),(反对称化：反对称jijiijjijiTTAA21T),(10.商法则阶张量的分量是（则：＝若有：阶张量的分量是阶张量的分量是设：)nmABACnBmCn21m21n21n21m21m21n21m21jjjiiijjjjjjiiiiiijjjiii证明next证明:)()()(''1'1'111'1'1111'1'11'1'1''1''1''1''1''1nnnnmmmnnmmmmmmmnnmmjjljljllkkkikillllkkkikikkkikiiijjjjiiiiBABACCBAC又：任意性），且）与（比较（''n1jjBnmnnmmnmllkkljljkikijjiiAA11'1'1'1'1''1''1举例§A－5二阶张量二阶张量也称仿射量，它相当于一个方矩阵，在向量空间，类似线性变换算子的作用。如：ueeeeeviikjiijjikjiuvBvBBjijvB结果为一矢量，分量为B的作用如同一个算子，将空间内一个向量变换成另一个向量。或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间。baba