张量网络态重整化.

RenormalizationofTensorNetworkStates张量网络态重整化陈勇3.15.2016目录•1对于量子多体强关联系统的介绍•2对于此类系统研究方法的发展•3介绍张量网络态重整化研究多体系统•4此方法与其他方法的对比（优点）对于量子多体强关联系统的介绍对于这样一个量子多体系统，每一个格点上都有一个量子态这些量子态相邻之间或次近邻间有相互作用如何用波函数来完整描述整个系统的状态，以及格点之间的关联作用？EntanglementEntopybetweenAandBL:numberofbondsontheinterfacebetweenAandBχ:minimalnumberofbasisstatesneededfordescribingthewavefunctionlnSLexp()L对于量子多体强关联系统的介绍对于量子多体强关联系统的介绍对于弱关联多体系统的研究方法（Strongcouplingapproach）截断多体系统基空间（truncatedmanybodybasisspace）量子蒙特卡洛方法QuantumMonteCarlo重正化方法NumericalRenormalizatio对于弱关联多体系统的研究方法（Weakcouplingapproach）用单粒子近似方法(singleparticleapproximation)哈里克-福特近似Hartree-FockTheory密度泛函理论DensityFunctionalTheoryis蒙特卡洛方法简单介绍（ISingModle）二维ISingModle第假设i个节点是一个小磁针，每个小磁针有上下两种状态，我们用来表示这个状态，并且表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用is11{is{},iNsijiijiEJssHs总能量为：蒙特卡洛方法简单介绍（ISingModle）二维ISingModle下面我们来讨论Ising模型的计算机模拟。有趣的是，先让每个小磁针的状态发生随机变化，再根据能量来依概率接受这种状态变化，系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：'()(1){iisistst概率为u概率为1-u'min{exp((())())/(),1}iiuEstEsKT蒙特卡洛方法简单介绍（ISingModle）二维ISingModle按照上述算法，系统可以最终达到如下的概率分布状态：sE1exp()iiZKT（）p({s})=这个分布就是波尔兹曼分布{}{}exp()iissEZKT{}({})1iisps((,))ZZKT蒙特卡洛方法简单介绍（ISingModle）模拟结果：T小于TcT约等于Tc（临界状态）T大于Tc二维模型的重整化简单介绍什么是制约Ising模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是配分函数：{}{}exp()iissEZKT通过Z(H,T)，我们可以求出一切Ising模型的热力学量。{}{}1{}ln(,)1exp()iiiNsisisEsZTHMHZKTKTKT22ln(,)ZTHKTH平均磁场强度磁导率22ln(,)ZTHcTT比热二维模型的重整化简单介绍重正化包含两大步骤：（1）对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述Ising模型（2）写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同。（卡丹诺夫（Kadanoff）变换）图(a)到图(b)中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。图(b)到图(b)旋转45度并将尺度缩小倍就可以得到跟原模型一致的Ising模型。2二维模型的重整化简单介绍图（c）新标度的配分函数记11KKT11,(,)exp()ijwhiteblackijZKNKss11,1,2,3,4(,)2cosh(())iiiiwhiteZKNKssss''11,1,2,3,40,1,2,1,4,2,3,3,4cosh(())exp(()2iiiiiiiiiiiiKKssssKssssssss''2,1,3,2,43,1,2,3,4()())iiiiiiiiKssssKssss图（a）的配分函数让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致（1）（2）（3）然后求出'111ln(cosh4)4KK进而得到重整化方程(1)()113log(cosh4)8ssKK二维模型的重整化简单介绍求解这个方程的迭代不动点，我们得到了一个非o解：10.507K1*1KKT这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过得到了二维Ising模型的临界温度。ClassicalLatticeStatisticalModel=TensorNetworkModel即用张量网络态来代替表示经典系统格点间的相互作用张量网络态重整化''iiiixxyyiZTrT张量网络态重整化第一步：粗粒化（把相邻的两个张量变成一个）'''''1122()()()nnnxxyyxxyixxiyiMTT其中12(,),xxx'''12(,)xxx张量网络态重整化第二步：通过高阶奇异值分解确定变换酉矩阵''''()nLRUDijklxiykxxyyxjylijklMSUUUU是核心张量，满足：ijklS{正交性有序性':,,:,::,,:,:0,jjSS':,,:,::,,:,:,jjSSifif'jj'jj张量网络态重整化第三步：对张量进行重整化（renormalizethetensor）按照核心张量的规范对M的维数进行截断''''(1)()()()TnnnnixxxyyijyyjxijUMU12(,:,:,:)iDSi12,12,()nLUU()nRUU22(:,,:,:)jDSj{{ififtruncationerror12min(,)张量网络态重整化第四步：粗粒化加截断循环过程完成以后得到：y()m,,,iixxyyiZTrT然后根据配分函数求出系统的各种热力学性质张量网络态重整化以XYModel为例cos()cosijiijiHJh哈密顿量：配分函数为：(),()()ijijiiijijiiniminmiinmZdIIhe,,,()()()()()lrudlrudlurdTIIIIIh定义每个格点张量,,,Z=TriiiilrudiT配分函数改写为：张量网络态重整化重复上面讨论的四个步骤，得到XY模型的最终配分函数，然后求出系统的热力学性质，如图：计算结果与MC结果比较，看出HOTRG方法是比较准确的对张量网络态重整化方法的改进（HOSRG）但是HOTRG并不是最准确的，改进后的HOSRG方法更加提高了结果的准确度。原理：HOSRG方法将系统与环境的相互作用考虑在内，所以是更准确的，依据的最大化熵的方法。对HOSRG方法的介绍HOSRG主要分为两个迭代过程1：向前迭代过程（Forwarditerations）::用HOTRG去确定U(n)和T(n)2：反向迭代过程(Backwarditerations):计算环境张量E计算环境的示意图1122121222()(1)()()()EnnnnnkajiijklijaliiijjjijlijaETUU对HOSRG方法的介绍HOSRG步骤第一步：先用HOTRG方法将系统缩小到一个可操作的大小，，N=2N3050第二步：根据上面的公式求出环境块，刚开始的环境块是个单位张量(1)NE第三步：构造一个密度矩阵来重新定义，再用对进行修正，并且不断迭代，直到所有的系统和环境块都收敛。(1)nU(1)nU(1)nT12121212()(2)(1)(1)(2)(2),nnnnnnzwxyijkliiijjjkkklllEUUUU11211222()()()()lnnnnixkaiyalzjkbwjbTTTT对密度矩阵对角化()(1)(1)()nnnUU对HOSRG方法的介绍HOSRG的准确度从TRG到HOTRG是数学方法的差别，但是SRG和HOSRG从物理上修正了误差，可以看出考虑了环境的影响后，结果是更加准确的HOSRG方法应用到三维ISing模型先进行HOTRG迭代定义所有的环境块定义耦合密度矩阵HOSRG方法应用到三维ISing模型这些是HOTRG的结果，用改进后的HOSRG将更加精确HOSRG方法应用到三维ISing模型三维ISing模型用HOTRG方法与其他方法结果准确度比较