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（原创）置换符号ε入门（图）2009-09-1323:17:36|分类：科学的皇后|字号订阅上一回说到，在笛卡儿坐标系中，三个坐标基矢是一组标准正交基。它们之间的点积关系可以用克罗内克尔符号简洁地表示为（1）然而笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系又如何表示呢？一、两个矢量的叉积我们知道，两个矢量的叉积仍是一个矢量，大小等于两矢量大小之积乘以两矢量夹角的正弦，方向垂直于两矢量所在的平面且与两矢量方向成右手螺旋系。设矢量a和b的夹角为θ，则叉积为矢量c，即（2）其中e_c为c方向上的的单位矢量（3）如下图所示：图1矢量的叉积通俗点说，矢量叉积a×b的大小等于两矢量张成的平行四边形的面积，叉积的方向垂直于平行四边形，如图中的c的方向。如果叉积的次序倒置，则大小不变，但方向相反，即有（4）即两个矢量叉积的方向永远遵守右手螺旋法则。注意：两个矢量夹角θ的正弦与其中一个矢量模值的乘积，就是平行四边形的高，直接影响叉积的大小（平行四边形的面积）。特殊地，如果两矢量夹角为90度（即方向相互垂直），则其叉积最大（矩形面积）；如果两矢量方向相同或相反（夹角为0或180度），则其叉积为0。二、置换符号ε的由来在三维笛卡儿坐标系中，由于坐标基矢均为两两相互正交的单位矢量，所以任意两个坐标基矢的叉积也是单位矢量，方向与它们均垂直，假定坐标系是右手螺旋系，则该叉积恰好等于另一个坐标基矢。即（5）但叉积的方向与两矢量相乘的顺序有关，反过来叉积又有（6）另外，矢量与自身的叉积恒为0，即（7）如下图所示：图2三维笛卡儿坐标系为了简洁地表达上述那么多的叉积关系，人们创造了如下的符号表达式（8）称之为置换符号，或排列符号，也叫做Levi-Civita符号。注意：置换符号有3个下标，可以使用任何小写字母代表。利用置换符号，上述式（5）、（6）、（7）所描述的一系列基矢叉积关系，就可以一并简洁地记为（9）这就是笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系。其中i，j，k可取值1，2，3，为坐标系三个单位基矢的下标。三、置换符号的用途有了置换符号，在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为：（10）和（11）则这两个矢量的叉积就可以表示为（12）这样表示的矢量叉积在张量运算中十分方便。注意，这里的哑标都采用爱因斯坦求和约定。此外还有，三个矢量的混合积可表示为（13）三阶行列式的值可表示为（14）总之，置换符号还有许多用途。四、置换符号与克罗内克尔符号的关系根据置换符号的定义，置换符号ε_ijk共有27个分量，除了6个分量外，其余大部分都为0。即（15）不难导出置换符号与克罗内克尔符号之间有如下主要关系：（16）置换符号的乘积等于克罗内克尔符号构成的行列式：（17）和（18）及（19）甚至还有（20）置换符号也叫做排列张量或交叉张量。为什么呢？且听下回分解