弦振动分析王文璞

辽宁工程技术大学力学与工程学院振动力学综合训练（三）题目乐器弦振动问题分析班级工力12级2班姓名李大为刘怡李凤飞王文璞王先明指导教师张智慧成绩辽宁工程技术大学力学与工程学院制目录第一章综合训练要求.......................................错误!未定义书签。第二章模型的建立及振动方程的求解...........错误!未定义书签。第三章影响弦振动物理量分析......................................................63.1.弦的长度对其振动的影响............................................................63.2.弦的张力对其振动的影响............................................................73.3弦的粗细对其振动的影响...........................................................9第四章结论与分析........................................................................11参考文献........................................................................................12辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）1第一章综合训练要求进行以下规定内容的建模、计算与分析工作,具体思考如下问题:1.为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调（声音的频率）不同？2.在演奏时依靠什么来改变弦的音调？3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？教学过程：教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中讨论、答辩、教师总结。成果形式：撰写计算分析报告并进行分组汇报。吉他弦图片乐器弦振动问题分析2第二章模型的建立与振动方程的求解1.横波运动分析由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。当波沿工轴方向前进时，弦上各质点沿y轴上下振动，其位移可表示为0sin,wtkxAtxy①图1横波及其质点的运动示意图其中A为振动的振幅,k为波矢量，ω为圆频率,ф为初位相。弦上各质点振动的速度为0costkxAdtdyv②②式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。图1标出了部分质点振动的速度,其中A、C、E处质点振动的速度最大（ωA),而B、D处质点振动速度最小(0).显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力Tl,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得yyyaxmaF③辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）3图2波峰附近绳子的受力分析③式中产为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得到02sintkxAdtdvayy④由于波矢量2k,波速fv,所以fkv2故这段弦在波峰D处对应的加速度为AvkAay222⑤进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为xAvkaxFyy22⑥现从受力角度讨论弦的回复力.因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故sin2tTFv⑦由于x,角度应非常小.按照小角近似条件应有tansin,代换(7)得,由于tan2sin2ttyTTF可表示弦在0x处的斜率,而这段弦的振动方程为kxAycos,故按斜率公式可得2sin|tan2xkkAdxdyxx⑧由于口很小,按照小角近似理论,sin，于是⑧式变为22tan2AxkxkkA，代入回复力的表达式即得xATkTFtty2tan2⑨现比较⑥、⑨两式可得xATkxAvkFty222于是弦上传播的横波的波速表达式为乐器弦振动问题分析4tTv⑩2.弦模型中的驻波以上讨论了正弦波的振动与传播规律.对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会形成驻波。驻波振动的位移,由两个振幅相等、圆频率相同的反向传播正弦波叠加,则tkxatkxatkxatxDcossin2sinsin,⑪考虑到驻波特点—弦的两端(即Lxx,0)弦振动位移为零,因而上式必须满足0sin2kLa，或nLkL2，(n=1,2,3,...为波腹数)。所以...3,2,1.2nnLn⑫由于频率f与波长又以及波速v满足关系式vf,所以有tnnTLnLvnvf22⑬对于tTLfn21,11其振动频率很低，叫做基频或基音,此时对应L21当2n时，频率表达式形如式,对应频率较高,叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐音。上述结果表明,对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦,两端固定时其自由振动频率不止一个,而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关,所以该频率也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波,图3表示弦的三个驻波模式。辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）5图3一维横驻波中的基频与泛频乐器弦振动问题分析6第三章影响弦振动物理量分析3.1.弦的长度对其振动的影响根据以上建立的力学振动模型，令弦的张力T0=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度3/1850mKg，分别取弦的直径为:d=0.30inch，弦的长度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，针对不同长度的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：formatlongL=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0];%L表示弦长，单位mTo=input('To=');%To表示弦张力，单位Np=input('p=');%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=input('d1=');%d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;fori=1:6w1(i)=3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));w2(i)=2*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));w3(i)=3*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));endplot(L,w1,'o-')gridonxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第一阶固有频率')plot(L,w2,'o-')gridonxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第二阶固有频率')plot(L,w3,'o-')gridonxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）7title('不同弦长度时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示：图3-1弦不同长度时共振频率3.2.弦的张力对其振动的影响根据以上建立的力学振动模型，令弦为钢丝这一材料，故密度3/1850mKg，分别取弦的直径为:d=0.30inch，弦的长度L=0.6m，弦的张力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，针对不同张力的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：formatlongL=input('L=');%L表示弦长，单位md1=input('d1=');%d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;To=[10,20,30,40,50,60];%To表示弦张力，单位Np=input('p=');%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3fori=1:6乐器弦振动问题分析8w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));endplot(To,w1,'o-')gridonxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第一阶固有频率')plot(To,w2,'o-')gridonxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第二阶固有频率')plot(To,w3,'o-')gridonxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示：辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）9图3-2弦不同张力时共振频率3.3弦的粗细对其振动的影响根据以上建立的力学振动模型，令弦长L=0.6m，弦的张力F=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度3/1850mKg，分别取弦的直径为:d=0.10inch、0.14inch、0.22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch，针对不同粗细的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：formatlongL=input('L=');%L表示弦长，单位mTo=input('To=');%To表示弦张力，单位Np=input('p=');%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=[0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47];%d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;fori=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));endplot(d1,w1,'o-')gridonxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第一阶固有频率')乐器弦振动问题分析10plot(d1,w2,'o-')gridonxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第二阶固有频率')plot(d1,w3,'o-')gridonxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第三阶固有频率'）输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示：图3-3弦不同粗细时共振频率辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）11第四章结论与分析通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析,可得到如下结论:1.弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。2.增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度,并不改变波动的传播速度。也就是说,弦振动振幅的改变,改变不了乐曲的音调。3.决定弦振动频率的物理参量为L、To、μ,因而弦乐曲的音调就由这三个参量决定。亦即弦长越短(L小),弦绷得越紧(To大),弦的线密度越小（μ小),音调也就越高(f高)。4.在其他条件(如弦长,松紧程度)相同的情况下,