弧度向量三角函数

LTMI专用理科学案【数学】第页1___弧度、三角函数、平面向量__学案【概念】1、弧度：表示角的大小。定义为圆心角所对的弧长与半径的比值。2、三角函数：单位圆上圆心角所对的点的坐标。3、向量：包含大小和方向的量。【应用】1、以后除特别指明，所有角都用弧度表示。2、以后除平面几何证明（选修4-2），否则解题基本不用相似，全用三角函数。【知识点及习题剖析】弧度1、角的概念的推广。由射线OA绕O旋转构成的角称为旋转角（或转角）。其中OA称为角的始边，OB称为角的终边。我们规定，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。旋转角的大小可以超过一周角（360°）特殊地，当旋转角度为零时（OA与OB重合），我们称该角为零角。由此可以把角的大小推广到实数域R内任意的值。坐标系中，将x轴正方向作为始边，某一射线OB作为终边，则我们称终边OB所在的象限为这个角所在象限，或这个角是第几象限的角。2、旋转角的性质。设ɑ、β为两个旋转角（可以为负角），则有：①先旋转ɑ，再旋转β，则总旋转角θ=ɑ+β。即各角和的旋转量等于各角旋转量的和。②所有终边相同的角构成一个集合},360{ZkkS（即某角旋转k周角的终边与该角终边相同）例：在0~360°范围内，找出与-950°15′终边相同的角，并判定该角的象限。解：因为45129360-315950-，所以该角为129°15′，在第二象限。3、弧度制。把圆周360等分，1份对应1°的制度称为角度制。在某一圆内，某一圆心角θ所对的弧长L和半径R的比值是一定的，我们定义RL的值为θ的弧度，记作θrad。LTMI专用理科学案【数学】第页2以弧度表示角的制度称为弧度制。弧度制中，θrad的“rad”习惯上可省略不写。例如我们可记θ=4(rad)4、角度、弧度的换算。设θrad=n°，根据弧长公式有：RR180nL可得n180下面列出一下常用角的角度和弧度：度(°)030456090120135150180270360弧度(rad)0π/6π/4π/3π/22/3π3/4π5/6ππ3/2π2π例：①把112°30′化成弧度。②把58化成角度。解：①112°30′=112.5°=851805.1121.96875②2881805858解析：角度不要忘记加单位(°)，否则一概认为是弧度。公式右算左是角度转弧度，左算右是弧度转角度，不要混淆。5、弧度制中的圆计算公式。弧长公式RL，面积公式2扇2121RLRS三角函数1、三角函数概念的推广。我们称半径为1，圆心在原点的圆为单位圆。对于实数域内的任一旋转角θ，其终边与单位圆上唯一交于点P(x,y)。我们定义：（余切）cot（正切），tan（余割）1csc（正割），1sec（余弦）cos（正弦），sinyxxyyxxy以上六个函数称为任意角的三角函数。由定义可知，sinθ,cosθ的定义域为R，值域为[-1,1]tanθ的定义域为Zkk,2，值域为R。LTMI专用理科学案【数学】第页3练习：根据任意角三角函数的定义推导secθ，cscθ，cotθ的定义域和值域。三角函数在各象限的符号现列如下：例1：已知角α的终边经过P(2,-3)，求α的六个三角函数值。解：13)3(222r313csc213sec32cot23tan132cos133-sinyrxryxxyrxry解析：当圆半径不为1的时候，将1改为r即可。例2：求tan-672°20′的符号。解：tan-672°20′=tan（-2×360°+47°40′），而47°40′在第一象限，解析：找出角所在象限即得三角函数的符号。2、三角函数线如图，在单位圆中，α的终边为OP，易知PM=sin，OM=cos，AT=tan我们称向量ON为正弦线，向量OM为余弦线，向量AT为正切线。点M、N分别称为点P在x轴、y轴上的正射影（或射影）。OM、ON分别为OP为在x轴、y轴上的正射影。LTMI专用理科学案【数学】第页4练习：在草稿纸上作出角613-的三角函数线。3、正弦函数。如图，在y轴左侧作单位圆，将其12等分，作出每个角的正弦线。再将x轴在[0,2π]内12等分，即得12等分圆周的角的弧度。将圆内每个角的正弦线投射到对应弧度上，用光滑曲线连接起来，即得正弦曲线（或正弦波）y=sinx由于某角转过若干周角后终边与该角相同，我们得到，sin(x+k×2π）=sinx，k∈Z，即正弦函数中x与x+k×2π，k∈Z的y值相同，如下图：由图，可得正弦函数的性质：①定义域为R，值域为[-1,1]②周期性：sin(x+k×2π）=sinx，k∈Z一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对于定义域内每一个x都满足)()(Txfxf我们称该函数为周期函数，T称为该函数的一个周期。对于周期函数f(x)，其所有周期中最小的一个正数称为它的最小正周期。我们一般讲到周期，都指最小正周期。正弦函数y=sinx的最小正周期为2π。③奇偶性：易知-sinx=sin(-x)（为什么？），可知正弦函数为奇函数，关于原点对称。④单调性：正弦函数在每一个闭区间kk22,22上单调递增。在每一个闭区间kk223,22上单调递减，其中k∈Z。例：求函数621siny,2sinxxy的周期。LTMI专用理科学案【数学】第页5解：①将2x看作自变量，则其有最小正周期2π，即sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π）因此函数y=sin2x的周期为π。②将621x看作自变量，则其有周期2π，即sin621x=sin2621x又sin2621x=sin6421x，因此原函数周期为4π。解析：周期是定义在自变量上的。想办法将已知函数的周期转化成未知周期函数自变量上的变化，这个变化即为新函数的周期。练习：证明正弦型函数xAysin的周期为2。在正弦波xAysin中，A称为振幅，T称为周期，T-1称为频率，称为初相。振幅反映正弦波的峰谷值（最大值和最小值），频率反映其密集程度，初相反映其初始状态。正弦型函数在物理、经济等领域有广泛的应用。例（应用）：如图是某按照正弦规律变化的交流电（AC）的图象，求出它的周期、频率、峰值、解析式。解：由图得周期T=0.02s，因此频率f=50Hz，电流最大值为5A。因此易知解析式为2100sin5tI解析：从图象推解析式，先看周期和峰值，再看与y轴交点，由此推出解析式。4、余弦函数和正切函数。与正弦函数类似，我们可以作出余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx的曲线。（y=cosx)LTMI专用理科学案【数学】第页6（y=tanx)余弦函数是偶函数，周期2π；正切函数是奇函数，周期π。5、反三角函数。定义xxxxxx111tanarctancosarccossinarcsin（其中负一次方为逆函数）例：求方程23sinx的解，其中x∈[-π，π]解：323arcsinx解析：三个反三角函数现阶段只要学会用它们来表示角，其它知识不作探讨。平面向量1、向量的定义：我们把同时具有大小和方向的量称为向量。B没有作用点的向量称为自由向量。数学中我们主要研究自由向量。向量的起点称为始点，终点称为终点。向量可以用有向线段表示。A如图向量记作AB。一般一个向量可记作粗体n或n。长度为0的向量，称为零向量。通过向量的直线，称为向量的基线。我们定义向量平行为其基线相互平行。如果基线重合，则称两个向量共线。平行或共线的向量同向。同向且等长的向量相等。向量a的大小记作|a|如果向量始点A给定，我们称AB为B关于A的位置向量。2、向量的运算法则。①向量的加法。a+babLTMI专用理科学案【数学】第页7如图称为向量求和的三角形法则。（即先位移a，再位移b和直接位移a+b的效果是一样的）对于向量加法，我们有a+b=b+a及(a+b)+c=a+(b+c)当有多个向量相加时，我们将其首尾相接，第一个向量的始点和最后一个向量的终点构成的向量即为这若干个向量的和。这个法则为向量求和的多边形法则。②向量的减法。我们定义a-b=a+(-b)，其中-b是与b方向相反、大小相等的向量。③数乘向量我们定义λa为与a方向相同（+）或相反（-），大小为a的|λ|倍的向量。关于数乘向量，我们有|λa|=|λ||a|且有(λ+u)a=λa+uaλ(ua)=(λu)aλ(a+b)=λa+λb（分配率）例：证明数乘向量的分配率成立，其中λ∈Q解：易证当λ∈Z时，分配率成立。当λ∉Z时，设λ=nm（m,n∈Z）则λ(a+b)=nm(a+b)=)(nbnnannm=)(nbnam=bnmanm=λa+λb解析：第四步中是根据已知的整数的数乘向量分配率将n提出来并与前面的n约掉的。把未知问题划归到已知问题，是常用的证明方法之一。思考：当λ为无理数时，该如何证明分配率？3、平面向量的坐标分解。平行向量基本定理：如果a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb；如果a=λb，则必有a∥b。平面向量基本定理：选定平面上两个不平行的向量e1和e2，对于平面上任一向量a，存在唯一实数对(a1,a2),使a=a1e1+a2e2(上述两定理证明略）由此，我们便可以利用一对实数对(a1,a2)来表示平面上的向量。e1和e2称为分解基底。我们取定平面上相互垂直且长度为1的向量e1、e2为正交基底。在正交基底下向量的分解，称为向量的正交分解。实数对(a1,a2)就是向量a在正交基底下的坐标，即a={a1,a2}//注意是大括号例：求向量a={x1,y1}，b={x2,y2}的和的坐标。解：a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2因此a+b={x1+x2，y1+y2}解析：运用向量的坐标分解式和运算法则推导。LTMI专用理科学案【数学】第页8练习：已知向量a={x1,y1}，b={x2,y2}，推导以下公式。①a-b={x1-x2,y1-y2}②λa={λx1,λy1}练习2：已知A(x1,y1)B(x2,y2)，推导以下公式。①AB={x2-x1,y2-y1}（提示：使用向量减法）②AB中点)221,221(Myyxx4、向量平行的条件已知向量a={x1,y1}，b={x2,y2}，且a∥b则有a=λb，即{x1,y1}=λ{x2,y2}={λx1,λy1}，即x1=λx2①,y1=λy2②。①式×y2，②式×x2得x1y2=λx2y2，x2y1=λx2y2两式相减得x1y2-x2y1=0，或2121yyxx平面两向量平行的必要条件是相应坐标成比例。思考：考虑P=x1y2-x2y1，我们知道P=0表示向量平行。那么P0和P0分别表示什么？例：已知a={1,2}，b={2,3}，实数x,y满足xa+yb={3,4}，求x,yLTMI专用理科学案【数学】第页9解：列出方程组1232432解得xyyxyx解析：合理利用向量的坐标表示，是解决向量问题的利器。5、向量的点积。我们定义a,b为向量a、b的夹角。设θ=a,b，定义a·b=|a||b|cosθ，称为向量a、b的点积（或内积、数量积）特殊地，当b为单位向量（长为1的向量）的时候，向量a、b的点积等于a在b的基线上正射影（投影）的大小。请大家自行导出下列点积的性质。①a⊥ba·b=0②a·a=|a|2③cosa,b=baba④|a·b|≤|a||b|⑤a·b=b·a（交换律）⑥λ（a·b）=（λa）·b=a·（λb）⑦（a+b）·c=a·c+b·c（分配率）（提示：画图证明）坐标点积：设a={x1,y1