弹塑性力学

应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。一．典型应力-应变关系图1-1典型应力-应变曲线1）弹性阶段（OC段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：E，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。2）塑性阶段（CDEF段）CDE段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE段的强化阶段在E点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限（ultimatestrength），并用σb表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking）。此时，由于颈缩现象的出现，在E点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。该阶段应力和应变的关系：)(。3）卸载规律如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA的直线DO′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD′表示总应变ε，O′D′表示可以恢复的弹性应变εe，OO′表示不能恢复的塑性应变εp，则有pe(1-1)即总应变等于弹性应变加上塑性应变。该阶段应力和应变的关系满足E。4）卸载后重新加载DO′段若在卸载后重新加载，则σ—ε曲线基本上仍沿直线O′D变化，直至应力超过D点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并σS′用表示。显然，由于硬化作用，σS′＞σS，而且与σS不同，σS′不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。5）卸载全部载荷后反向加载如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，譬如由拉伸改为压缩，则σ—ε曲线上弹性阶段OC段沿曲线OA′变化，有ss。DO′D′段沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D″点后又开始进入屈服，此时''ss，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger效应。这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。二．线性弹性体1.线性弹性体本构方程的一般形式在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即xxE，即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：111213141516xxyzxyyzzxCCCCCC212223242526yxyzxyyzzxCCCCCC313233343536zxyzxyyzzxCCCCCC414243444546xyxyzxyyzzxCCCCCC515253545556yzxyzxyyzzxCCCCCC616263646566zxxyzxyyzzxCCCCCC(2-1)式（2-1）可简写为ijijklklC（2-2）由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性：=ijklijlkCC、=ijkljiklCC，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述36个常数中，实际上独立的弹性常数只有21个，即=ijklklijCC。满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线弹性体的最一般情况。2.各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213xxyzCCC212223yxyzCCC313233zxyzCCC（2-3）x对x的影响与y对y以及z对z的影响是相同的，即有112233==CCC；y和z对x的影响相同，即1213=CC，同理有2123=CC和3132=CC等，则可统一写为：112233==CCCa122113312332=====CCCCCCb（2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。3.弹性应变能密度函数弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S，它所包围的体积为V。以δW表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功，δU表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量，δK表示动能增量，δQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有δW＝δK＋δU－δQ（2-5）假设弹性体的变形过程是绝热的，即假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。以X，Y，Z表示单位体积的外力，X，Y，Z表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所做的功W包含两个部分：一部分是体力X，Y，Z所做的功1W；另一部分是面力X，Y，Z所做的功2W，它们分别为1()iiVVWXudVXuYvZwdV（2-6）2()iiSSWXudSXuYvZwdS（2-7）则：12()()VS（2-8）外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所做的功W表示为：12iiiiVS（2-9）将平衡微分方程和静力边界条件代入上式，利用散度定理可得：,()()ijjiijijVSWudVuldS,,()(),ijjiijijijijVSVudVudVudV（2-10）因为,,,1()2ijijijijjiijijuuu所以内能增量U为：,ijijijijVVUWudVdV（2-11）定义函数0()ijU，使之满足0()ijijijU（2-12）把它代入（2-11）有：000ijijijijVVVVUUdVdVUdVUdV（2-13）0()ijU表示单位体积的弹性应变能，称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函），简称应变能。对（2-12）取积分，得0()00000()(0)ijijUijijijdUdUU（2-14）假如0()ijU的具体函数形式能够确定的话，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这可表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。假设0()ijU对ij有二阶以上的连续偏导数，有式（2-12）可得ijklklij（2-15）式（2-15）为广义格林公式。将式（2-2）代入广义格林公式得：ijklklijijklklijCC（2-16）即各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。三．屈服条件研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。1.屈服函数与屈服曲面在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。在复杂应力状态下，一般屈服条件可以表示为应力分量、应变分量、时间t和温度T的函数，它可写成：(,,,)0ijijftT（3-1）不考虑时间效应和接近常温的情况下，时间t和温度T对塑性状态没什么影响，在初始屈服之前，应力和应变之间具有一一对应关系，所以应变分量ij可以用应力分量ij表示，因此屈服条件就仅仅是应力分量的函数了，它可表示为：()0ijf（3-2）以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数()0ijf表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。当应力点ij位于该曲面之内时（即()0ijf），材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上时（即()0ijf），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入塑性状态。假设：1)材料是初始各向同性的。屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数123(,,)0fIII（3-3）或写成主应力的函数123(,,)0f（3-4）2)平均应力（静水应力）不影响塑性状态。屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即''23(,)0fJJ（3-5）或者写成只是应力偏量主值的函数123(,,)0fSSS（3-6）这个假设对金属材料成立，但对于一些非金属材料，如混凝土、岩石等则不成立。通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量OP来描述（图3-5），矢量OP可写为：123OPijk（3-7）分解成为偏量部分与球量部分有：123()mmmOPS