弹塑性力学-应力.

弹塑性力学绪论•研究对象弹性体：变形可完全恢复，几何上杆状构件（一维）、板壳结构（二维）块体结构（三维）。荷载：包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。•研究内容研究弹性体在外部荷载作用下其内部所产生的内力和变形研究方法材料质点从宏观尺度上看它无限小；但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。（1）材料质点的平衡，未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的（2）材料质点之间的变形必须是协调的，（3）应满足应力与变形关系的方程，取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。•基本理论建立弹性力学的基本方程从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。•求解方法（1）解析求解（2）数值求解法：差分方法、有限元方法和加权残数法等。弹性力学的基本体系弹性力学基本假定•连续性•完全弹性•线弹性、小变形•均匀性•各向同性SACPnFxyz应力矢量SFs0limT(n)=•定义•坐标分量T(n)=Txex+Tyey+Tzezex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，Tx、Ty和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。•法线方向和切线方向分量沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。性质：•同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关，所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态只有三个面上的应力矢量是独立的；•外法线为n微面上的应力矢量为：T(n)=T(n)应力张量zyzyxxyxz•微六面体三个坐标面上的应力矢量T(ex)＝xex+xyey+xzezT(ey)＝yxex+yey+yzezT(ez)＝zxex+zyey+zez以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量zzyzxyzyyxxzxyx•张量表示用1、2、3取代下标x、y、z，•应力正、负号规定正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。333231232221131211ij张量求和约定•哑指标：重复出现两次的指标，累加求和UiVi=U1V1+U2V2+U3V3ii=11+22+33•自由指标：不重复出现的指标，例如，Aijxi=Bj其中i是哑指标，而j是自由指标，可以取1，2，3，T(ei)＝ikek332211XVXVXVXVkkChauchy公式（斜面应力公式）•已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，由四面体平衡条件导出。nT(-e)T(-e)T(-e)T(n)exyeCzxzeyxyz•由微四面体的平衡条件得：T(n)dS+T(ex)ldS+T(ey)mdS+T(ez)ndS+XdhdS/3=0T(n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n•将斜面应力矢量T(n)沿坐标轴方向分解T(n)＝Txex+Tyey+Tzez•斜截面公式Tx＝xl+yxm+zxnTy＝xyl+ym+zynTz＝xzl+yzm+zn•张量表示Tj=niij•求斜截面的各种应力（1）正应力n=T(n)n=Txl+Tym+Tznn＝xl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl＝ijninj（2)剪应力•确定力边界条件222)(zyxTTTnT22)(nnnT•例题504030401ij求在321212121eeen面上的法向正应力和切向剪应力3132121111nnnT)4(210211212221230213210213232221212nnnT2252521021)4(213332321313nnnT•解22272252212321)2221(21332211nTnTnTN24827212332221N－＋＋TTTSdzzzzdzzzyzydzzzxzxdyyyydyyyxyxdyyyzyzdxxxzxzdxxxyxydxxxx平衡微分方程•在x=0的面上，应力是x、xy、xz•在x=dx面上的应力•由x方向的平衡dxxdxxdxxxzxzxyxyxx、、dxdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxx0Xdxdydzdxdydxdydzzzxzxzx0Xzyxzxyxx•由y、z方向的平衡•力矩平衡：绕z轴(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0xy＝yx绕x和y方向的形心轴取矩yz=zyxz=zx0Yzyxzyyxy0Zzyxzyzxz静力学边界条件nXAxyzxl+yxm+zxn＝Xxyl+ym+zyn＝Yxzl+yzm+zn＝Z例1-2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条件。解：在x=0上，l=1，m=0，(x)x=0(1)+(yx)x=00=y(xy)x=0(1)+(y)x=00=0(x)x=0=y(xy)x=0在斜边上l=cos，m=sinxcosyxsin=0xycosysin=01yxyX0Y应力分量的坐标变换'ye'zeexeyezl1m1n1l2m2n2l3m3n3'xe•面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量Tx＝xl1+yxm1+zxn1Ty＝xyl1+ym1+zyn1Tz＝xzl1+yzm1+zn1'xe•新旧坐标的夹角111111212121222lnnmmlnmlzxyzxyzyxxx'')(xxeeT＝Txl1+Tym1+Tzn1'''''zxyxx＝(l1m1n1)[][]Tzzyzxyzyyxxzxyx][333222111][nmlnmlnml•[]＝＝[][][]T'''''''''''''''zyzxzzyyxyzxyxx主应力•在主平面上T(n)＝n或Tx＝lTy＝mTz＝n(x)l+yxm+zxn＝0xyl+(y)m+zyn＝0xzl+yzm+(z)n＝0l2+m2+n2=1•非零解条件0zzyzxyzyyxxzxyx--•特征方程3I12+I2I3=0•不变量I1=x+y+z=kkI2=xy+xz+yz()=(ijij)•主应力性质（1）主平面相互垂直（2）极值性222zxyzxy2121IzzyzxyzyyxxzxyxI3最大剪应力•在法线为n的斜截面上，应力矢量为T(n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l1e1+m2e2+n3e3nx1T(n)132nx2x3e1e3e2n•斜截面上的正应力n=T(n)n=l21+m22+n23•应力矢量的模为=(l1)2+(m2)2+(n3)2•斜截面上的剪应力是=(l1)2+(m2)2+(n3)2－(l21+m22+n23)2＝l2m2(1－2)2+m2n2(2－3)2+n2l2(3－1)2当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。求上式的极值可得最大剪应力2n2T•约束条件l2+m2+n2=1•条件极值无条件极值F=(l2+m2+n21)为引进拉格朗日乘子2n0lF0mF0nF0F2n1112121232222n2322121221222n2212121231222n231lmnn000010000200003000•最大剪应力规定123•所在平面与2平行而与1和3的角度分别为450231max312321Mohr应力图•每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系—截面上的应力对应坐标系的一个点•截面上的正应力和剪应力＝(l1)2+(m2)2+(n3)2•截面上的正应力n=T(n)n=l21+m22+n23l2+m2+n2=1以上三个式子联立求解222Tnn0))(())((31213222nnnl0))(())((12321322nnnm0))(())((23132122nnnn2322322)2()2(nn2132132)2()2(nn2212212)2()2(nn应力张量分解xyz000xyzzyzxyxyzxyxzz0x0y静水压力状态偏应力状态定义平均应力0=(x+y+z)31•两种应力状态用张量表示ij=sij+0ij其中ij是Kronecker符号，定义为ij=1，当i＝jij=0，当i≠j，0000000000ij000zzyzxyzyyxxzxyxij--s•关于静水压力状态任意一个面都是主平面主应力值均相等在应力圆上是一个点静水压力张量是各向同性张量xyz000•偏应力张量sij的主值s3+J2s+J3=0J1=skk=sx+sy+sz=0J2=sijsij=[(xy)2+(yz)2+(xz)2+6()]222zxyzxy0003zzyzxyzyyxxzxyxij--sJ3cos3221Js3cos3222Jscos3223Js3233233cosJJ61•与应力张量主值关系s1=10s2=20s3=30两者方向相同0213cos32J0223cos32J023cos32J•等效应力J2=sijsij/2=[(12)2+(23)2+(13)2]•单轴拉伸时，应力状态为1=，2=3=0，2ijijJss323213232221)()()(2161•八面体每个面的外法线为n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)称为等倾面•等倾面上的应力8=(1+2+3)312132322218)()()(3131ijijssJ313228