弹塑性力学第二章.

§2.1力和应力的概念§2.2二维应力状态与平面问题的平衡方程§2.3一点处应力状态的描述§2.4边界条件§2.5主应力与主方向§2.6球张量与应力偏量第二章应力一、下标记号法(指标记法）附录xzyikj,,Pxyzxzyikj,,PxyzxyzRijk123123,,,,,,,,xyzxxxijkiii31122331nnnxxxxRiiii采用赋值字母为指标的方法称为指标记法。位移：,,iuvwu力：坐标：,,ixyzx,,xyziFFFF1,2,,iaiN代表N个量1.附录111213212223313233,,,,,,,,,,1,2,3ijaaaaaaaaaaij,,,,,xxyxzxxyxzijyxyyzijyxyyzzxzyzzxzyzijxyz2.1,2,,;1,2,,ijaiNjM表示个量NM二、求和约定若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复一次，该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和。附录设有求和表达式1122NNSaxaxax1NiiiSax去掉求和符号1,2,,iiSaxiN1,2,3i时3112233=1==++(I1)iiiiiababababab3112233=1==++(I2)iiiiiaaaaa附录重复指标出现两次以上就失去求和的含义，不再是哑标。333111ijijjijijiijijiijiaxxxaxxxaxxx表示求和的重复指标称为哑标。不属于哑标的指标称为自由指标11111221332211222233331132233yaxaxaxyaxaxaxyaxaxax按求和约定，上述方程组可以写为112233mmmmmmyaxyaxyax或1,2,3iimmyaxi在同一方程中，每一项的自由指标必须相同。三、张量标量矢量张量在三维空间中，r阶张量具有个分量3r,,,,xxyxzijyxyyzzxzyzijxyz四、导数的表示：用“,i”表示对坐标xi的偏导数：,,,,,iiijijiijjAffffAxxxx(2阶张量）3312,1123iiiiiaaaaaxxxx求和约定：(I-7)3123,1123ijiiiijjjjxxxx(I-8)三维应力状态的平衡方程000yxxzxbxxyyzybyyzxzzbzFxyzFxyzFxyz,0,,,,ijjbiFijxyz00yxxbxxyybyFxyFxy二维应力状态的平衡方程？附录力和应力的概念1.外力面力（表面力）：作用在物体表面上的力体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力0limSSSpp一点面力的集度：ps方向：与ΔP的极限方向相同。ps在坐标轴x,y,z方向的投影px,py,pz称为P点面力的分量，符号规定：指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。力和应力的概念面力平均集度：Sp[力][长度]-2斜粗体表示矢量一、力——外力和内力物体在外力作用下变形（改变了质点间距）在物体内形成附加的内力场当内力场足以和外力平衡时，变形不再继续平衡2.内力力和应力的概念二、应力的定义应力：0limcScSp单位：帕（Pa)反映了P点内力的强弱程度，是度量内力分布强弱程度的物理量。应力二要素：点的位置：不同点的应力不同截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同方向：与的极限方向一致p正应力σn：沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量。1.正应力力和应力的概念剪应力τn：沿应力所在平面的切线的应力分量。三、应力的分类2.切应力四、三维正交坐标系下的应力表示方法1.角码表示方法正应力σx:一个坐标角码表示作用面外法线方向。切应力τxy:两个坐标角码第一个角码表示作用面外法线方向，第二个角码表示作用方向2.符号规定力和应力的概念负面：截面的外法线是沿坐标轴负方向正面：截面的外法线是沿坐标轴正方向正面负面正面与坐标正向一致时为正；负面与坐标负向一致时为正。正面与坐标负向一致时为负；负面与坐标正向一致时为负。思考：应力矢量与面力矢量的异同？应力符号规定与材料力学的异同？正正得正；负负得正；正负得负。xxyxzyxyyzzxzyzxxyxzyxyyzzxzyz坐标变换应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，各应力分量即为应力张量的元素。,,,,xxyxzijyxyyzzxzyzijxyz力和应力的概念五、一点的应力状态:P点的应力共有9个：3个正应力分量，6个剪应力分量（独立分量3个），按一定规则排列，则表示P点的应力状态。在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。二维应力状态与平面问题的平衡方程特点：物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标轴（例如z轴）无关分类：平面应力问题和平面应变问题。几何特征：很薄的等厚度薄板，即一方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。二维应力状态与平面问题的平衡方程如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等一、平面问题1.平面应力问题受力特征：外力（体力、面力）和约束平行于板面且不沿厚度变化。应力特征：20tzz20tzxz20tzyz板很薄，且外力沿z轴方向不变。0z0zx0zy由剪应力互等定理，有:0yzzy0xzzx结论：平面应力问题只有三个应力分量，且均为x、y的函数),(yxxyyxxy(,)xxxy),(yxyy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。00000xxyijyxyyzt二维应力状态与平面问题的平衡方程几何特征：等截面柱体，其纵轴方向（z向）很长，即一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多——近似认为无限长。水坝滚柱厚壁圆筒二维应力状态与平面问题的平衡方程2.平面应变问题受力特征：外力平行于横截面作用，且沿长度（z）方向不变。约束也沿长度（z）方向不变。变形特征：沿z轴方向各点的位移与其在z轴方向的位置无关，即沿z轴方向各点的位移均相同（通常设为0），且物体的变形只在Oxy平面内发生。令u、v、w分别表示一点在x、y、z方向的位移分量，则,,0uuxyvvxyw000zzxzywzuwzxvwzy二维应力状态与平面问题的平衡方程0000xxyijyxyz应力张量结论：平面应变问题的应变分量只有3个,,,,,xyxyxyxyxy如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题二维应力状态与平面问题的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程二、平衡方程设应力分量是点的空间位置的连续函数，即,,,abcdfxyfxdxy由泰勒级数展开：同理可以求出cd、cb边上的应力22,xxxxcdabababdxdyodxdyxy0xxabcdyycd边上的正应力：xxdxx,xxcdab都作用在线元的中点处,,xyyyxxyyyxdxdydyxyy解得：xyyx剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线对于厚度t=1的微小矩形单元abcd，有平衡条件：0aM以后的推导中不再区分,xyyx同理可得：,xzzxyzzy二维应力状态与平面问题的平衡方程0X0yxxxxyxyxbxdxdydydydxdxFdxdyxy0yxxbxFdxdyxy化简后可得：同理可求出：0yxybyFyx二维应力状态的平衡方程：00yxxbxyxybyFxyFyx由平衡条件：，可得0yxxbxFxy即：二维应力状态与平面问题的平衡方程说明：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。00yxxbxyxybyFxyFyx（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,,xyxyyx二维应力状态与平面问题的平衡方程三维应力状态的平衡方程000xyxxzbxyxyyzbyzyzxzbzFxyzFxyzFxyz二维应力状态与平面问题的平衡方程（纳维方程）平衡方程给出了一点应力和体力的关系，反应了物体内的应力分量必须满足的条件，是弹性力学问题的基本方程之一张量记法应力张量：,,,ijijxyz——二阶对称张量,0,,,ijjbiFijxyz平衡方程：一点处应力状态的描述cosABSsinACS1BCS将px、py向x'和y'轴投影后可得：将（2-15）式代入（2-16）式经整理后得：一点处应力状态的描述一、二维应力状态下一点处应力状态的描述设BC的面积为1，则AB和AC的面积分别为cosθ和sinθ，由x、y方向的平衡方程可得：（2-15）cossincossinxxxyyxyypp（2-16）cossincossinxxyxyyxpppp（2-18a）（2-18b）11cos2sin222xxyxyxy1sin2cos22xyxyxy令上式第一式中的,得2由(2-18)式可以求过A点任意方向平面上的应力分量。xyxyyxxxxyyyxxyyyxxyxyyxxxxyyyxxyyyx（2-18a）（2-18b）11cos2sin222xxyxyxy1sin2cos22xyxyxy（2-18c）11cos2sin222yxyxyxy一点处应力状态的描述一点处应力状态的描述二、三维应力状态下一点处应力状态的描述令斜面ABC的面积为1，则三角形OBC,OAC,OAB的面积分别为由微小四面体的平衡条件可得：,,,iijjpnijxyz——斜截面上的面力1231cos,1cos,1cos,nxlnylnzl123123123xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllplll指标记法：坐标变换后，新旧坐标系内各应力分量间的关系：令新坐标系的轴与图中的n方向重合，新旧坐标系间的方向余弦为：OxyzOx1112cos,,cos,lxxlxy111213xxyzplplpl斜面上的面力向轴投