弹性力学及有限元法复习题

第一章1、已知某材料为理想弹性体，弹性体内一点的应力状态为522246268σMPa,假设某表面的外法线方向余弦为6/11,7/11xyznnn，求该表面的法向和切向应力；该点的应力不变量、主应力、最大剪应力，并绘制摩尔圆。2、以y轴或z轴为例，推导平衡微分方程（要求写清详细的推导过程）3、从理想弹性体中取出一微元体，见下图，试以向yOz面投影为例，推导几何方程。zyxdzdydxo图（2）4、已知点P（1，0，3）处位移场为223[()i4j+(7+5+6+7)k]10mxyxyzxyzzu，求点P处的应变状态，应变不变量，主应变，体积应变，假如材料参数为112.0610EPa，0.3，试求该点的应力状态5、一理想弹性体处于平面应力状态，材料参数为,E，其中cxybxayx23edyy3hygxfxyxy22gfedcba,,,,,,，h是常量。为了使应力场满足相容方程，这些常量的约束条件是什么？6、一个理想弹性体，材料参数为,E，设体内某点所受的体积力为,,xyzFFF，所处的位移场为223[()i4j+(6+8)k]10mxyyzyzzu，试求在此坐标系下体积力的表达式。7、如下图所示处于平面应力状态的薄板结构，在P点区域作用有面力F，请标示出该结构的应力及位移边界条件ABCDFxyOP第二章1、一点处的应力状态由应力矩阵给出，如下301520152510201040σMPa如果70EGPa，33.0，求单位体积的应变能密度。2、对于平面应变状态10xMPa，0yMPa，0MPa，画出与三个主应力相对应的三个摩尔圆；求最大剪应力的位置和数值；计算等效的vonMises应力值，并与最大剪应力的二倍进行比较。3、一柔性材料具有280MPa的屈服应力。根据Tresca理论和vonMises理论，求如下平面应力状态下屈服时的安全系数。140xMPa，140yMPa，0xyMPa4、对给定的应力矩阵，求最大Tresca和vonMises应力。并将vonMises应力与Tresca应力进行比较。201010102010101020σMPa第四章1、分别以直接组集法及转换矩阵法，组集图1所示的总刚度矩阵。在应用直接组集法时，用分块矩阵，例如(1)11k表示单元（1）的分块矩阵元素。在进行转换矩阵法组集时，只需写出各单元的转换矩阵，并写出组集公式即可。123451234图12、如图所示的平面三角形单元，厚度1tcm，弹性模量5100.2EMPa，泊松比3.0v。试求该单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵，并验证单元刚度矩阵的奇异性。图23、在如图3所示的参考坐标系下的平面三角形单元，假如平移到I位置，单元刚度矩阵有无变化，又假如分别绕z轴旋转90度，180度，单元刚度矩阵有无变化，试用数值说明。Oxy1(1,1)2(3,1)3(3,2)1'(4,2)2'(6,2)3'(6,3)1'''(-1,-1)2'''(-3,-1)3'''(-3,-2)1''(1,-1)2''(1,-3)3''(2,-3)IIIIIIz图3注：绕x，y，z轴旋转，变换矩阵分别为1000cossin0sincosxTcos0sin010sin0cosyTcossin0sincos0000zTclearP1=[11]';P2=[31]';P3=[3,2]';bj=90;aluo=bj*pi/180;Tz=...[cos(aluo)sin(aluo)-sin(aluo)cos(aluo)];P1T=Tz*P1;P2T=Tz*P2;P3T=Tz*P3;4、如图4所示结构，其经单元组集后形成的整体有限元方程为，11121314151617182122232425262728313233343536373841424344454647485152535455565758616263646566676871727374757677788182838485968788kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1111222233334444xyxyxyxyRuRvRuRvRuRvRuRv试引入边界条件，将原有限元方程变换为可用于直接求解的方程。1234F=100NOyx图45、如图4所示，平面应力问题，4acm，单元厚度1tmm，弹性模量5100.2EMPa，泊松比3.0v。100N,50NFxFy，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序OyaaFxFy图5第五章1、如图1所示的杆单元系统，试求解该单元的总刚矩阵。12345612345E1,A1E1,A1E2,A2E2,A2E3,A3LLLLL图1杆单元系统2、试求解图2所示，整体坐标系下该杆单元的刚度矩阵。o30ux1y1x2y2xy图2整体坐标系下的杆单元3、如图3（a）、（b）所示平面梁单元所组成的结构系统，梁的抗弯刚度均为为EI，各单元的长度为L，试写出结构系统的总刚矩阵。进一步，分别针对（a）、（b）两种系统，引入边界条件，写出修正后的静力学求解方程。12F12（a）一端固支，一端简支（b）两端固支4、如图4所示的一个平面梁系统，梁的材料为112.0610EPa，梁的截面见图4，作用力70FN，总长度为1.5m，等分为15个轴段。试有限元法求解各节点的挠度，并绘制平F面梁变形曲线。xyF10mm15mm图4一端固支，一端简支的平面梁系统5、如图4所示，平面应力问题，4acm，单元厚度1tmm，弹性模量5100.2EMPa，泊松比3.0v。100N,50NFxFy，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序OyaaFxFy图5第六章1.如图1（a）、（b）分别为具有中节点的平面三角形单元和平面四边形单元，试利用帕斯卡三角形写出这两种单元的位移插值公式，并借助于Matlab软件写出，对应于每个节点的形函数表达式。（要求写出程序代码）OxyP1(2,1)P2(6,1)P3(4,4.5)P4P5P6P1(2,1)OyP2(5,1)P3(5,5)P4(2,5)P5P6P7P8（a）6节点平面三角形单元（b）8节点平面四边形单元2、如图所示一平面梁单元，试梁单元的形函数对分布载荷进行载荷移置，求解等效节点力。（要求写出程序代码）q=1N/mL12图2平面梁单元受均布力作用clearsymsx;symsL;symsP;Nvi=1-3*(x/L)^2+2*(x/L)^3;Nsi=x-2*x^2/L+x^3/L^2;Nvj=3*(x/L)^2-2*(x/L)^3;Nsj=-x^2/L+x^3/L^2;Fi=P*int(Nvi,x,0,L);Mi=P*int(Nsi,x,0,L);Fj=P*int(Nvj,x,0,L);Mj=P*int(Nsj,x,0,L);2iPLF，212iPLM，2jPLF，212jPLM3、如图所示平面4边形单元，试推导出各节点的形函数，并用数值说明形函数的重要性质。（要求写出程序代码）P1(2,1)OyP2(5,1)P3(5,5)P4(2,5)第七章1.利用等参坐标变换，可以使局部坐标系下的坐标(,)，同整体坐标系下坐标(,)xy存在一一对应的关系，如图1所示，试确定整体坐标系下单元内，点A所对应的局部坐标系下坐标值。OxyO12(8,0)3(8,4)4(3,4)A(4,2)（a）局部坐标系下母单元（b）整体坐标系下的单元2.如图2所示矩形单元，各节点位移如下u1=0,v1=0,u2=0.005*25.4=0.127mm,v2=0.0635mm,u3=0.0635mm,v3=-0.0635mm,u4=0,v4=0b=10mm,h=5mm,材料参数112.0610PaE，0.3，试利用等参元的思想，确定单元中心点A的位移1(0,0)432v1u1u4v4u3v3u2v2uvbhAyxO图2矩形单元3、如图3所示平面问题的四边形单元，材料参数为112.0610PaE，0.3，试通过编制程序确定单元的刚度矩阵，写出Matlab程序代码。1(3,2)2(5,2)3(5,5)4(3,4)yOx图3四边形单元