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弹性力学及有限单元法复习提纲采矿09级1.材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。2.什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形能够恢复的性质。塑性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢复的性质。基本假设：（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的3.弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定，根据平衡条件可导出；表示区域内任一点的微分体的平衡条件。4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？因为平衡微分方程有两个方程，三个未知量，这就确定了应力分量问题是超静定的，要考虑几何学和物理学的条件（边界条件）来解答；它是假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动而推导出来的；表示弹性体受力后的线应变和切应变。5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？平面应力问题的物理方程：ℇx=1E（σx−μσy)(在平面应力问题中的物理方程中ℇy=1E（σy−μσx)将E换为E1−μ2，μ换为μ1−μ就得到γxy=2(1+μ)Eτxy平面应变问题的物理方程)表示理想弹性体中形变分量与应力，应变分量之间的关系6.什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：σz=0,τzx=0,τzy=0,注意到剪应力互等关系，可知τxz=0,τyz=0,这样只剩下平行于xy面的三个应力分量，即σx，σy，τxy=τyx，它们是x和y的函数，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。两问题正好相反；由理想弹性体中形变分量与应力、应变分量之间的关系可推导出平面应力问题的物理方程；把平面应力问题的物理方程中E换为E1−μ2，μ换为μ1−μ则可得平面应变的物理方程。7.弹性力学问题的基本方程有哪几组？(1)平面问题的平衡微分方程:∂σx∂x+∂τyx∂y+ƒx=0∂σy∂y+∂τxy∂x+ƒy=0平面问题的几何方程：εx=∂u∂xεy=∂v∂yΥxy=∂ν∂x+∂u∂y平面应力问题的物理方程：ℇx=1E(σx−μσy)ℇy=1E（σy−μσx)(在平面应力问题中的物理方程中将E换为E1−μ2，换为μ1−μ就得到平面应变问题的物理方程)γxy=2(1+μ)Eτxy(2)空间问题的平衡微分方程;∂σx∂x+∂τyx∂y+∂τzx∂z+ƒx=0∂σy∂y+∂τzy∂z+∂τxy∂x+ƒy=0∂σz∂z+∂τxz∂x+∂τyz∂y+ƒz=0空间问题的几何方程;εx=∂u∂xεy=∂v∂yεz=∂ω∂zΥxy=∂ν∂x+∂u∂yΥzx=∂u∂z+∂ω∂xΥyz=∂ν∂z+∂ω∂y空间问题的物理方程：ℇx=1E(σx−μ（σy+σz))ℇy=1E（σy−μ(σx+σz))ℇz=1E（σz−μ(σx+σy))γxy=2(1+μ)Eτxyγyz=2(1+μ)Eτyzγzx=2(1+μ)Eτzx8.什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？结构体表面上可能全部地给定应力，称应力边界条件；或全部地给定位移，称为位移边界条件；也可能在部分边界上给定应力，部分边界上给定位移，称混合边界条件。9.什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。(2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。10.什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？∂4ϕ∂x4+2∂4ϕ∂x2∂y2+∂4ϕ∂y4=0意义：应力不能任取，不满足相容方程，则解答不正确，及弹性力学不解决破坏问题。11.什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。σx=∂2ϕ∂y2−ƒxx,σy=∂2ϕ∂x2−ƒyy,τxy=−∂2ϕ∂x∂y称为平面问题的应力函数。∂4ϕ∂x4+2∂4ϕ∂x2∂y2+∂4ϕ∂y4=0是用应力函数表示的相容方程，也称双谐方程；根据应力函数应满足的条件推导得出。12.应力函数与应力分量间有什么样的关系？如何求解双谐方程？σx=∂2ϕ∂y2−ƒxx,σy=∂2ϕ∂x2−ƒyy,τxy=−∂2ϕ∂x∂y；逆解法和半逆解法。13.什么是圣文南原理？在弹性力学中有何意义？圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。意义：简化局部边界上的应力边界条件（作用：1，将次要边界上复杂的面力作分布的面力代替；2，将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。）14.什么是主要边界？次要边界？为什么主要边界上的边界条件必须完全满足，次要边界条件才能使用圣文南原理？主要边界：占弹性体边界的大部分的边界；次要边界:占弹性体很小部分的边界;若主要边界上应用圣维南原理，则会对结果有很大影响，所以必须完全满足，而次要边界条件使用圣维南原理可以简化问题。15.什么是逆解法？半逆解法？逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程(∂4ϕ∂x4+2∂4ϕ∂x2∂y2+∂4ϕ∂y4=0)的应力函数的Ф，并由式(σx=∂2ϕ∂y2−ƒxx,σy=∂2ϕ∂x2−ƒyy,τxy=−∂2ϕ∂x∂y求的应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式；在按式(σx=∂2ϕ∂y2−ƒxx,σy=∂2ϕ∂x2−ƒyy,τxy=−∂2ϕ∂x∂y)由应力函数求的应力分量；并考察这些应力分量能否满足全部应力边界条件。16.由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？17.由弹性力学所获得的受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，与材料力学所得到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？在弯应力σx的表达式中，第一项是主要项，和材料力学的解答相同，第二项则是弹性力学提出的修正项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，则必须注意修正项。弹性力学和材料力学解答的差别，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是较精确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具有足够的精度，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法来求解，只能用弹性力学的解法来求解。18.如何推导出极坐标下弹性力学的平衡微分方程，几何方程和双谐方程？极坐标下弹性力学的基本方程与直角坐标下的方程有哪些区别？只需将角码x和y分别换成为ρ和∅。区别：在直角坐标系中，xy都是直线，有固定的方向，xy坐标的量纲都是L，在极坐标中ρ和∅在不同的点有不同的方向，坐标线是直线，量纲是L，是圆弧曲线，坐标为量纲一的量，这些都引起弹性力学基本方程的差异。19.为什么可以求出极坐标下弹性力学方程的轴对称问题的通解？如何求出？可以解答哪些问题？在弹性力学问题的极坐标解答中,经常会遇到一类可转化为欧拉方程的常微分方程。在现有的教材中,均采用先将此类方程转化为欧拉方程,然后再求解的讲授思路,但由于转化过程过于繁杂,以至学生在学习此部分内容时普遍感到困难。利用幂函数做试探解,可非常简便地确定此类方程的特征根,并由此确定出方程的通解。解答圆环，圆筒，受均布压力。20.带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘等问题的解答，是如何获得的？这些解答各可以解决哪些工程问题？半平面体边界上受集中力：用半逆解法求解，首先按量纲分析法来假设应力分布的函数形式，将函数代入相容方程求的应力，此外还须考虑在点O有集中力F的作用。带圆孔的无限大板：首先设有矩形薄板在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四边受均布拉力，集度为q，坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界，其次该矩形薄板在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q。22.使用三角形3节点单元时，单元划分时有哪些注意事项？(1)任意三角形单元的顶点，必须也是相邻三角形单元的顶点，而不能是其内点；（2）每个三角形单元的后三条变长和三个顶角均不要相差太大，否则会发生较大的误差；（3）为了既保证计算精度又节约计算工作量，计算前应对应力分布情况做一个大体上的估计；（4）一个单元内部职能具有一种单元厚度和一个材料弹性常数，因此，材料厚度和弹性常数有变化的地方，必须作为单元的界限。23.什么是位移插值函数？为什么要引入位移插值函数？通过一直点的位移构造一个插值多项式来逼近单元体内部各点的位移这个多项式称为位移插值函数。在按位移求解的有限元法中，基本未知量是节点位移，但在计算出节点位移后，还不能直接利用弹性力学的公式计算单元内部各点的位移，因而不能计算出单元内各点上的应变和应力。24.什么是形函数？如何推导形函数？将各节点位移和节点坐标代入位移插值函数中并求解，将代入位移插值函数，整理后可得形函数。25.什么是应变矩阵？应力矩阵？节点位移列阵？应力矩阵：即单元应变矩阵与弹性矩阵只积；单元应变矩阵：由位移插值函数变化后求的的矩阵[B]；节点位移矩阵：Tmmjjiievvvuvu][}{26.什么是常应变单元？常应力单元？为什么三角形3节点单元是常应变单元和常应力单元？常应变单元：具有yxyxuu321),(yxyxvv654),(式的线性位移插值函数的三角形单元常应力单元：单元体内部的各应力是为常数的单元称为常应变单元也是常应力单元；应变矩阵的所有元素都只与单元节点坐标有关。对于每一个单元，节点坐标都是常数，于是结算出单元内部各点的应变分量都具有相同的数值，即应变分量在单元各点的应变分量都具有相同的数值，即应变分量在单元内部是常数，由于弹性矩阵至于材料的弹性常数有关，其所有元素均为常数，因此应力矩阵的各元素也是常数，于是每一个内部的多应力分量也都是常数。这就是说，常应变单元也是常应力单元。27.什么是弹性变形比能？单元刚度矩阵是如何推导出的？总刚度矩阵如何得出？弹性变形比能：弹性体单位体积内存储的弹性变形时能由变形比能变形为线性代数式秋季，可得单元刚度矩阵，总刚度矩阵由单元刚度矩阵按行列相加而得。28.什么是最小势能原理？如何根据