弹性力学基本知识

一、基本概念：（0）弹性力学（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，0,0,0zzxzy，由切应力互等，0,0,0zxzyz，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即,,xyxyyx，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zxzy，根据切应力互等，0,0xzyz。由胡克定律，0,0zxzy，又由于z方向的位移w处处为零，即0z。因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即,,xyxy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）差分法的基本概念：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。（8）极小势能原理：在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。（9）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。二、平衡微分方程：(1)平面问题的平衡微分方程；00yxxxxyyyfxyfxy（记）(2)平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210ff(3)空间问题的平衡微分方程；000yxxzxxxyyzyyyzxzzzfxyzfxyzfxyz(4)空间问题的平衡微分方程（柱坐标）；00zzzzzfzfz＋1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。三、几何方程；（1）平面问题的几何方程；xyxyuxvyvuxy（记）（2）平面问题的几何方程（极坐标）；1212121uuvvuv（3）空间问题的几何方程；,,xyzyzzxxyuxvywzwvyzuwzxvuxy，，（4）空间问题的几何方程（柱坐标）；1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移）四、物理方程；（1）平面应力的物理方程；1121xxyyyxxyxyEEE（记）（2）平面应变的物理方程；22111121xxyyyxxyxyEEE（3）极坐标的物理方程（平面应力）；1()1()12(1)EEGE（4）极坐标的物理方程（平面应变）；221()11()12(1)EEE（5）空间问题的物理方程；1,1,1,1,1,1xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEGGG（6）空间问题的物理方程（柱坐标）；111211zzzzzzzEEEGE五、边界条件；（记）（1）位移边界条件；平面问题：ssuusvvv在us上；空间问题：sssuusvvvwws在us上；（2）应力边界条件；平面问题：xyxxsxyyyslmflmf（记）空间问题：xyxzxxsxyyzyysxzyzzzslmnflmnflmnf（3）接触条件；光滑接触：nnn为接触面的法线方向非光滑接触：nnnnuun为接触面的法线方向（4）位移单值条件；2uu（5）对称性条件：具体问题具体分析（6）线载荷或者集中力的边界条件（7）无穷远处的边界条件