弹性力学基础

岩石力学－第三讲：弹性力学基础（一、应力应变分析）教学备忘录序号时间内容备注1101、上节课的内容回顾岩石的组构特征及其对力学性质的影响岩石的四个性质岩石的物理、水理性质2、例题讲解2401、为什么进行应力应变分析简要介绍变形体和刚体的区别以教室中的承重梁为例说明进行应力应变分析的意义2、应力分析通过变截面杆受力引入应力的定义，应力的正负问题；应力张量剪应力互等定理内容上无重点与非重点只分，要求全部理解与掌握重点讲述应力分析，简单讲述应变分析350应力不变量偏应力和偏应力不变量应力变换（Mohr园）和主应力平衡方程3、应变分析应变的定义几何方程的引入应变张量和应变不变量相容条件4、弹性本构方程大多数物质在受到外力时发生变形，在外力撤除后又能恢复到原来的形状。我们把物质的这种性质称之为弹性。弹性是岩石力学的基础，外力和相应的变形间呈线性关系是最简单的情况。当在外力的作用下，物质发生的变形足够小，那么这种关系几乎总是线性的。因此，线弹性是所有弹性问题的基础。1.1介绍了固体物质的线弹性特性。在实际情况下，线弹性的有效区域经常被超越。1.1中介绍了一些岩石非线性行为的一般特征。在石油工程岩石力学中，更多的兴趣集中在那些具有有效孔隙和渗透性的岩石上。固体材料的弹性理论不能完全描述这种介质，因此，应该引入多孔弹性的概念。岩石的弹性反应也可能是与时间相关的，因此，介质的变形也是随着时间而变化的，甚至在外力不变的情况下也是这样。1.3节和1.4节分别介绍了多孔物质的弹性特性和随时间变化效应。1.1线性弹性理论弹性理论建立在应力和应变这两个概念之上，在1.1.1和1.1.2节中对应力和应变分别做了介绍。1.1.3节和1.1.4节分别介绍了各向同性介质和各向异性介质应力和应变之间的线性本构方程1.1.1应力考虑图1.1所示（见多媒体）的情况，一个重物加在柱子的顶部。由于重物的重量，一个作用力施加在柱子上，同时柱子会产生一个大小相等、方向相反的力。而柱子本身支撑在地面上，因此，施加在柱子顶部的作用力必然会通过柱子的任意横截面。a)处横截面的区域如A所示。如果施加在横截面上的力为F，则该截面处的应力定义为：AF（1.1）应力经常用Pa(=Pascal=N/m2)、bar、atmosphere、psi(=lb/sq.inch.)或dynes/cm2等单位来表示。在理论计算中，国际单位Pa是最合适的单位，而其它单位大多应用于工程计算。应力符号不仅表示受力面的物理性质，而且已经依照惯例进行了定义。在岩石力学中，符号惯例规定：压应力为正。历史原因在于：岩石力学涉及到的应力几乎都是压应力。当符号惯例被一直使用时并没有引发问题，但是，记住一些其它科学，包括弹性力学使用相反的符号惯例是重要的。正如公式（1.1）所表明的那样，应力被一个力和一个截面（或通常来说是一个平面）所定义，力是被施加的。看看b)处的截面，施加在截面上的力等于施加在截面a)处的力（忽略柱子本身的重量）。然而，b)处横截面的区域A´明显小于A。因此，b)处的应力´＝F/A´大于a)处的应力，即在受力试件中，应力随位置变化而变化。我们可以将a)处截面分为无数个小单元ΔA，总力F的一个无限小单元力ΔF施加在这个小单元ΔA上（图1.2）。不同的小单元，力ΔF也不同。设想一小单元i，其包含一点P。当其面积Δai趋近于零时，点P处的应力被定义为Δfi/Δai的极限，即：iiAAFilim0（1.2）公式（1.2）定义了截面a)上点i的局部应力，而公式（1.1）描述的是截面上的平均应力。当谈到一点的应力状态时，实际上我们指的是局部应力。与作用力方向相关的截面的取向也很重要。看看图1.1中c)处截面区域A´´。在这里，力不再是截面法向方向上的。我们可以将力分解为截面法向方向上的力Fn和与截面平行的力Fp（图1.3）。方程：'A'nF（1.3）中的被称作法向应力，而方程：''AFp（1.4）中的称作剪应力。因此，通过一个平面有两种类型的力，每一类型力的大小依赖于平面的取向。应力张量为了给点P处的应力状态一个完整的描述，把应力在三维直角坐标系中表示出来是必要的。垂直于x轴的平面上的应力可以表示为x，xy，xz，分别代表法向应力，y方向的剪应力和z方向的剪应力。物理上，平面上只有一个剪应力。然而，剪应力的方向必须被分解，通常被分解为y方向和z方向：xy和xz。相似地，垂直于y轴的平面上的应力可以表示为y,yx，yz，垂直于z轴的平面上的应力可以表示为z,zx，zy。因此，点P上有9个应力分量：zzyzxyzyyxxzxyx（1.5）表达式（1.5）被称为张量。它完整地描述了点P处的应力状态。有时只用一个符号来表示应力张量是很方便的，例如：。因此，隐含的表征表达式（1.5）给出的应力分量的集合。应力张量还有一个具体的物理意义：如果r是一个单位矢量，表达式r代表r方向的总应力（法向应力和剪应力）。然而，不是所有应力张量的9个分量都是独立的。如图1.4中所示的xy平面坐标系中的1个小正方形，作用于小正方形上的应力在图上被标注出来。正方形处于静止状态，因此，没有使其平移或旋转的作用力。由于没有平移作用力已得到了验证，没有旋转作用力要求：yxxy（1.6）同样，可以得到：xz＝zx（1.7）yz＝zy关系式（1.6）和（1.7）总是是成立的，从而减少了应力张量独立分量的个数，使其由9个变为6个。尽管式（1.5）在许多方面是实用的，但其中用到的记法对于理论计算来说是非常不方便的。出于这样的目的，我们频繁使用下面的符号：将两种应力（法向应力和剪应力）表示为：ij，下标i和j可以是数字1，2，3其中之一，分别代表了x轴，y轴，z轴。第一个下标i代表应力作用面的法向，而第二个下标j代表应力的方向。因此，在图1.4上，我们看到：11＝x,13＝xz，等等。在这个记法中，应力张量（1.5）变成：333231232221131211（1.8）应力不变量公式（1.5）是应力张量的一个矩阵表达式。当转换成不同的坐标系时，矩阵（1.5）转换成一个普通的矩阵。因此，平均法向应力为：=(3/)zyx（1.9）其等于矩阵迹的1/3，在坐标轴的任何变化中保持不变。因此，这意味着平均法向应力是一个应力不变量。还存在其它的应力组合，它们在坐标系中是独立的。当然，应力不变量的任何组合也是一个应力不变量。经常用到的应力不变量为：I1=zyxI2=－()xzzyyx+xy2+yz2+zx2I3=zyx+2xyyzzx－xyz2－yzx2－zxy2（1.10）偏应力公式（1.9）中定义的平均法向应力本质上能引起均匀压缩与拉伸。另一方面，扭曲是由所谓的偏应力引起的。偏应力（也称应力偏斜张量或应力偏移，不同文献中的技术术语是不一致的）是通过从法向应力分量中减去平均法向应力得到的：zzyzxyzyyxxzxysssssssssx=xyxzyxyyzzxzyzx（1.11）就像公式（1.10）中的应力不变量，应力偏量不变量可以这样建立：J1=sx+sy+sz(=0)（1.12）J2=－(sxsy+sysz+szsx)+sxy2+syz2+szx2J3=sxsysz+2sxysyzsyszszx－sxsyz2－szsxy2－syszx2不变量J1，J2，J3和它们的组合与坐标轴的选择无关。例如，在破坏准则中，应力偏量不变量与扭曲相关，但必须对独立与坐标轴的选择。平衡方程除了作用在物体表面上的力，还可能有作用在物体内每一部分的力。这样的力我们称之为体力。重力就是体力的一个例子。我们将用X，Y和Z来表示作用在物体内一点x，y，z上的单位质量的体力分量。根据符号约定，如果作用在x的负方向，X是正的，对于Y和Z也如此。举一个例子，材料的密度为ρ，取其一小部分容积ΔV，如果z是竖轴，由于重力作用在这小部分容积ΔV上，那体力就是：ρZΔV＝ρgΔV，在这里g是重力加速度。体力通常产生应力梯度。例如，地层中的一个单元体不仅受到单元体自身重力的作用，而且还要承受单元体以上地层的重量。因此，总应力随着深度的增加而增加。外力作用下，物体保持静止状态，应力张量（公式（1.6）和（1.7））不仅是对称的，应力梯度之间还要满足一组方程，我们这称组方程为平衡方程。考察图1.5中的平行六面体，作用在物体x方向的力是：法向应力：－xyz+(x+xxx)yz剪应力:－yxxz+(yx+yyxy)xz－zxxy+(zx+zzxz)xy体力：Xxyz（1.13）累加（1.13）中各部分，然后除以ΔxΔyΔz，我们发现x方向各力之间保持平衡的条件等同于：xx+yyx+zzx+X=0（1.14）同样，对于y方向和z方向的力，我们发现：yy+xyx+zzy+Y=0zz+xzx+yzy+Z=0（1.15）公式（1.14）和（1.15）是应力平衡方程。注意：在交替性符号中（公式（1.8）所示的应力，然后取x1＝x，x2＝y，x3＝z）这些方程采取了特别简单的形式：jjijx+Xi=0（1.16）主应力在坐标系的特殊方向上，应力张量有一个特别简单的形式。为揭示这种形式，最初我们在二维空间研究应力。这不过是学术上的一个练习，实践上的许多问题实际上是二维的。如图1.6所示，与xy平面垂直的平面，其法线与x轴之间的夹角为θ，平面上法向应力为（）和剪应力为（），若图中的三角形处于静止状态，因此没有净力作用在它上面。由力的平衡关系可以得出：=xcos2θ+ysin2θ+2xysinθcosθ＝21(y－x)sin2θ+xycos2θ（1.17）选择合适的θ角，有可能使＝0。从公式（1.17）可看出，当下式成立时，会使＝0。tan2θ=yxxy-2（1.18）公式（1.18）有两个答案：θ1和θ2。这两个答案对应剪应力＝0的两个方向，称之为主应力轴。对应的法向应力1，2称作主应力，分别通过在公式（1.17）中代入θ1和θ2得到：1=21(y＋x)＋2)-(41yxxy22=21(y＋x)－2)-(41yxxy2（1.19）（图1.6）很容易选择符号使12。因此，θ1方向确定了一个主应力轴，法向应力为1，剪应力为0。θ2方向确定了另一个主应力轴，法向应力为2，剪应力为0。主应力轴是正交的。莫尔应力圆很容易调整合适的坐标系，使x轴平行于第一主应力轴，y轴平行于其它主应力轴。这样，与x轴相关的一般角θ方向上的应力和变成：=21(1-2)+21(1-2)cos2θ=－21(1-2)sin2θ（1.20）在一个图表中（图1.7a）画出相应和的值，我们得到一个圆，称之为莫尔圆。这个圆的半径为（1－2）/2，圆心位于轴上点（1＋2）/2处。任何角θ（图1.7b）方向上的应力和都对应于莫尔圆周上的一个点。从图1.7a可以看出，剪应力的最大绝对值为（1－2）/2，对应着角θ＝450和θ＝1350。莫尔圆在岩石破坏条件分析中是非常有用的工具，这将会在第二章中看到。（图1.7）莫尔应力圆三维应力现在对于三维空间，我们首要做的是在空间中如何确定方向。可以用方向余弦来做这项工作：lx=cosxly=cosylz=cosz（1.21）x、y和z分别是我们选择的方向与x轴、y轴、z轴的夹角（图1.8），矢量r＝（lx，ly，lz）是一个我们选择的方向上的单位矢量。注意到总有：lx2+ly2+lz2=1（1.22）主应力可以通过解的行列式方程获得：x