数模-NBA赛程安排的分析与评价

NBA赛程安排的分析与评价摘要本文综合考虑了NBA上个赛季的各球队赛绩和本赛季的赛程，确定出赛程对球队不利的四个主要影响因素，运用层次分析法对其进行定量分析，引入一个不利因素指数来描述赛程安排对球队的影响大小，利用MATLAB计算出赛程对各个队的不利因素指数值。从不利因素指数排名得出赛程对于对姚明加盟的火箭队来说是影响不是很大，赛程对球队最有利的是活塞队，最不利的是步行者队。对于问题（3），用MATLAB对2008—2009年赛程的1230场比赛的方式进行分类统计，并对3类方式再进行筛选出结果并对其进行分析总结。为了保证比赛的公平性和观赏性，在同部不同区的比赛中，尽量安排实力相差不大的球队赛4场，实力悬殊的球队安排赛3场，于是我们建立0—1规划模型，应用lingo求解出最合适的方案。关键词：层次分析法；连续比赛；不利指数；赛程公平性；0—1规划一问题的重述NBA是全世界篮球球迷们最钟爱的赛事之一。对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响。本题主要是要求用数学建模方法对NBA2008-2009赛季赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。二问题的分析问题（1）需要分析赛程对某一支球队的利弊影响，我们确定赛程对球队造成不利影响的4个因素，即连续与强队连续比赛、连续异地对阵实力一般的球队或连续主场对阵强队、主场连续对阵水平相当的球队和主场连续对阵水平相当的球队。由于区分了强弱队，我们需要对球队实力进行排名，依据是2007——2008年赛季的赛季中各队胜利的场数，取前6名定义为强队。主客场的区分可以用SPSS实现。我们引入了不利因素指数来描述赛程对球队的不利影响，用层次分析法将30支球队的不利因素指数进行排序。问题（2）根据问题（1）所得的不利因素指数排名结果分析赛程对球队的不利影响。问题（3）我们先从赛程中同部不同区的赛3场的球队进行分析总结，发现2008——2009年赛程中，同部同区的某一支球队需要与另外两个区的两支球队赛3场（一支是2客1主，另一支是2主1客），每支球队的主客场数量相同，而安排赛3场的两支球队选取是随机的。考虑到比赛的公平性和观赏性，本文选取的准则是尽量安排实力相差不大的球队赛4场，实力悬殊的球队安排赛3场，转化为数学语言：所有比赛中球队实力差的总和最小，于是我们考虑到应用0—1规划模型进行求解，0表示赛4场，1表示赛3场,目标函数是所有比赛的实力差值的总和达到最小，使用lingo进行求解，得出一种最合适的方案。三模型假设（1）假设2008—2009年赛季各个队的实力不发生改变，即上个赛季的排名情况反映了本赛季的实力情况，假设排名前6为强队，这个实力排名情况是绝对的，不考虑相对实力差距。（2）假设各球队经过一天休息即可恢复体力。（3）假设所有客场对球队的不利影响都一样，不考虑距离远近。四符号说明Si表示四个不利影响因素，i=1,2,3,4L表示不利因素指数，值越大，表示对球队的越不利Ak表示成对比较矩阵Bk对象层对准则层的权向量矩阵CK组合权向量值五模型的建立与求解5.1问题（1）5.1.1主要影响因素的确定对于问题（1），需要分析赛程安排对某一球队的利弊的影响因素，我们综合考虑了上个赛季的球队赛绩和本赛季的赛程情况，只考虑不利因素，这样便于对问题的分析和数据的处理。我们考虑到以下几个因素对球赛会造成影响：①球员的劳累程度，劳累主要是由球队连续作战（即背靠背作战）和主客场之间的旅途造成的劳累两方面引起，这对球队实力发挥水平有重要影响。②球队之间的实力差距，我们只考虑连续比赛情况，若某一球队连续和比该球队实力强的球队比赛，将会影响到球队状态。我们再把问题细化，分类分析讨论，最后确定赛程对某一球队的不利影响因素有4个：（1）球队连续与强队比赛，我们把它称为S1影响因素。客场是指球队在其他球队的场地进行比赛，这样就要考虑到旅途使队员的休息受到一些影响，同时连续比赛也会使体力下降，影响到球队的水平发挥。（2）连续异地对阵实力一般的球队或连续主场对阵强队，在异地比赛中，需要考虑到旅途对球队的休息有影响，同时我们还需要考虑连续作战对球队的实力发挥有影响，我们把它们的影响归为一类称为S2影响因素。（3）主场连续对阵水平相当的球队，在主场虽然有主场优势，但是连续作战时体力尚未恢复，对第二场比赛不利，我们把它称为S3影响因素。（1）与强队之间的非连续进行地比赛,与强队比赛后，不论中间休息多少天，对球队都有不利影响，我们把它称为S4影响因素。5.1.2球队实力排名的确定依据2007—2008年赛季的各球队在比赛中胜利的场数，我们对NBA30个球队根据胜的场数进行实力排名，各球队排名结果如表1所示。我们规定30支球队中的前6名为强队。本文讨论的是赛程中连续比赛对球队的影响。表12007—2008年赛季球队实力排名球队胜负胜率排名球队胜负胜率排名凯尔特人661680.500%1开拓者414150.000%16活塞592372.000%276人404248.800%17湖人572569.500%3国王384446.300%18马刺562668.300%4老鹰374545.100%19黄蜂562668.300%5步行者364643.900%20太阳552767.100%6篮网344841.500%21火箭552767.100%7公牛334940.200%22爵士542865.900%8山猫325039.000%23魔术523063.400%9雄鹿265631.700%24小牛513162.200%10尼克斯235928.000%25掘金503261.000%11快船235928.000%26勇士483458.500%12森林狼226026.800%27骑士453754.900%13灰熊226026.800%28奇才433952.400%14超音速206224.400%29猛龙414150.000%15热火156718.300%305.1.3将赛程转换为便于数据处理的格式为了便于对NBA2008—2009年赛季的赛程进行分析，我们得做些数据处理。首先将30个球队逐个编号，并利用MATLAB编程实现对Si因素逐个进行次数统计，球队编号及其统计结果如表2所示。表2球队编号和连续参加比赛的次数统计编号球队S1因素S2因素S3因素S4因素1凯尔特人011612活塞011513湖人016324马刺011715黄蜂013606太阳01720776人111918步行者212739公牛0913110超音速1152411国王0193412灰熊1156313火箭0164514掘金0138215爵士0174316开拓者1114617快船1128218老鹰0157419猛龙1115120魔术1114121尼克斯1134022奇才0126223骑士0145124热火1108125森林狼1147526山猫1911027网队0157428小牛196329雄鹿0139330勇士012355.1.4层次分析法题（1）要求给出评价赛程利弊的数量指标，这样就确定了可以选用层次分析法来解决这个问题。我们将4个影响因素作为准则层，对象层为NBA东西部的30个球队，建立如图3所示的层次结构模型。图3层次结构模型（1）确定准则层对目标层的权向量我们对四个影响因素进行重要程度比较构造出准则层对目标层成对比较矩阵44aijA。1214161213151431316531A（2）计算权向量和一致性检验使用和法用MATLAB编程计算得：0788.4max，对应的特征向量为：[0.5637；0.2576；0.1095；0.0692],矩阵A进行一致性检验的计算公式是1max2nnCI，2)2(2RICICR，用MATLAB编程计算得：1.02CI，所以A通过了一致性检验，说明其构造是相对合理的，其对应的特征向量可以作为权向量。即]0692.01095.02576.02576.0[)2(w，通过了一致性检验。赛程对各队的影响连续异地对阵强队连续主场对阵强队连续异地对阵一般队非连续对阵强队连续主场对阵一般队A1A2A3A30（3）确定对象层对准则层的权向量矩阵我们设定对象层对准则层的权向量矩阵为,通过MATLAB编程实现对Bk的求解，如表4所示。表4对象层对准则层的权向量矩阵凯尔特人00.0284240.033520.014493活塞00.0284240.0279330.014493湖人00.0413440.016760.028986马刺00.0284240.0391060.014493黄蜂00.0335920.033520太阳00.0439280.011173076人0.0714290.0284240.0502790.014493步行者0.1428570.0310080.0391060.043478公牛00.0232560.0726260.014493超音速0.0714290.038760.0111730.057971国王00.0490960.016760.057971灰熊0.0714290.038760.033520.043478火箭00.0413440.0223460.072464掘金00.0335920.0446930.028986爵士00.0439280.0223460.043478开拓者0.0714290.0284240.0223460.086957快船0.0714290.0310080.0446930.028986老鹰00.038760.0391060.057971猛龙0.0714290.0284240.0279330.014493魔术0.0714290.0284240.0223460.014493尼克斯0.0714290.0335920.0223460奇才00.0310080.033520.028986骑士00.0361760.0279330.014493热火0.0714290.025840.0446930.014493森林狼0.0714290.0361760.0391060.072464山猫0.0714290.0232560.0614530网队00.038760.0391060.057971小牛0.0714290.0232560.033520.043478雄鹿00.0335920.0502790.043478勇士00.0310080.016760.072464（4）组合权向量组合权向量表示的是方案层对目标层的权向量，我们用Ck表示，根据层次分析法的原理，我们知道iiijkabC44j=1,2,3,…29,30。5.1.5不利因素指标综合考虑以上计算结果，我们确定不利因素影响数量指标——不利指数，标记为L430ijKbBL=iiijkabC44=iiiisa41其中is为某个球队第i个影响因素值，ia为第i个影响因素权重，L的值越大表示编排的赛程对球队越不利，反之则越有利。利用Matlab软件计算，将计算的结果进行从小到大排列，如表5所示；表5不利因素指数结果排名球队不利指数排名球队不利指数排名活塞0.0113841网队0.01827816凯尔特人0.0119952国王0.01849417