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概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）第一章概率的基本概念习题解析第1、2题随机试验、样本空间、随机事件-------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解（1）高该小班有n个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，…，100，n个人分数这和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为01100,,...,,nnnn则样本空间为S=0,1,2,,100kknn...=....（2）样本空间S={10，11，…}，S中含有可数无限多个样本点。（3）设1表示正品，0有示次品，则样本空间为S={（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）}例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。（4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为S={}(x,y)x2+y2￡1-------------------------------------------------------------------------------2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生。解此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的联合运算。（1）ABC。（2）ABC或AB—C。（3）A∪B∪C。（4）ABC。（5）ABC。（6）A，B，C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即ABC∪ABC∪ABC∪ABC，A，B，C中不多于一个发生，也表明A,B,C中至少有两个发生，即AB∪BC∪AC∪ABC。（7）A，B，C中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC而ABC表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=A∪B∪C。（8）A，B，C中至少有两个发生为A，B，C中仅有两个发生或都发生，即为ABC∪ABC∪ABC∪ABC也可以表示为AB∪BC∪AC。第3.（1）、6、8、9、10题概率的定义、概率的性质、古典概型-------------------------------------------------------------------------------3．（1）设A，B，C是三件，且11()()(),()()0,(),48PA=PB=PC=PAB=PBC=PAC=求A，B，C至少有一个生的概率。解利用概率的加法公式315()()()()()()()()488PA∪B∪C=PA+PA+PC-PAB-PBC-PAC+PABC=-=其中由P(AB)=P(BC)=0,而ABCìAB得P(ABC)=0。-------------------------------------------------------------------------------6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解利用组合法计数基本事件数。从10人中任取3人组合数为310C，即样本空间S={3}10C=120个基本事件。（1）令事件A={最小号码为5}。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10的5个号码中取出的，有25C种取法，故A={2}5C=10个基本事件，所求概率为253105!2!3!101()10!120123!7!CPAC====（2）令事件B={最大号码为5}，最大号码为5，其余两个号码是从1，2，3，4的4个号码中取出的，有24C种取法，即B={2}4C个基本事件，则243104!2!2!61()10!120203!7!CPBC====-------------------------------------------------------------------------------8．在1500个产品中有400个次品，1100个正品。从中任取200个。求（1）恰有90个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率。解（1）利用组合法计数基本事件数。令事件A={恰有90个次品}，则9011040011002001500()CCPAC=（2）利用概率的性质。令事件B={至少有2个次品}，Ai={恰有i个次品}，则23200B=A∪A∪A,AiAi=.(i1j)所求概率为200232002()(,()iiPBPAAAPA==∪∪.∪）=Σ显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B={恰有0个次品或恰有1个次品}，即01B=A∪A，而200119911004001100010120020015001500()()()()CCCPBPAAPAPACC=∪=+=+故20011991100400110020020015001500()1()1CCCPBPBCC=-=---------------------------------------------------------------------------------9．从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解令事件A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}。用3种方法求P（A）。①A的对立事件A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}，从5又鞋中任取4只，即从10只鞋中任取4只，所有可能组合数为410C，样本空间S={410C个基本事件}，现考虑有利于A的基本事件数。从5双鞋中任取4双，再从每双中任取一只，有44C52种取法，即A={445C2个基本事件}，则444541025213()1()1121021CPAPAC=-=-=-′=②4只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为410A，即样本空间S={410A个基本事件}。现考虑有利于A的基本事件，从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，从其余8只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A={10×8×6×4个基本事件}。于是4101086410864813()1()111109872121PAPAA=-=-′′′=-′′′=-=′′′③利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A的基本事件数，任取的4只鞋配成一双的取法有1222524CCC2种，能配成两双的取法有2252CC种，于是A={（1222524CCC2+2252CC）个基本事件}，则12222252452410213013()21021CCCCCPAC=+==此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质：P(A)+P(A)=1首先求P(A)，然后求P(A)。第3种方法是直接求P(A)。读者还可以用更多方法求P(A)。-------------------------------------------------------------------------------10．在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解令事件A={排列结果为ability}，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽1张的连抽7张，要排成单词，因此用排列法。样本空间={711A个基本事件}。排列结果为ability，实际收入字母b的卡片有两张，写字母i的卡片有两张，取b有12C种取法，取i有12C种取法，其余字母都只有1种取法，故11A={C2C2个基本事件}，于是11227114()00000024111098765CCPAA===×′′′′′′这是个小概率事件。第14.（2）、15、19、18题条件概率、概率的加法公式和乘法公式-------------------------------------------------------------------------------14．（2）已知111()(),(),()432PA=，PBA=PAB=求PA∪B。解利用概率加法公式和概率乘法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)解此题的关键是求P(B)和P(AB)。由概率乘法公式，得111()()()4312PAB=PAPBA=′=又P(AB)=P(B)P(AB)，解得()11()12()162PABPBPAB===于是所求概率为1111()46123PA∪B=+-=此题的关键是利用P(A)P(BA)=P(B)P(AB)，求出P(AB)和P(B)，再求P(A∪B)就迎刃而解了。-------------------------------------------------------------------------------15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解令事件A={两颗骰子点数之和为7}，B={有一颗为1点}。此题是求条件概率P(BA)。两种方法如下：①考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6个，即样本空间S={62个基本事件}。事件AB={两颗骰子点数之间和为7，且有一颗为1点}，两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个，即A={（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）}而AB={（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得()221()36()66336PABPBAPA====②已知事件A发生后，将A作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有一颗骰子出现1点，则在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为21()63PBA==-------------------------------------------------------------------------------18．某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解利用概率性质(有限可加性)和概率乘法公式。令事件Ai={第i次拨通电话}，“到第i次拨通电话”这个事件为12i1iAAAA-.（i=1，2，3）。事件B={不超过三次而拨通电话}，则B=112123A∪AA∪AAA该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得1121231121231121121312()()()()()()()()()()()191981310109109810PBPAAAAAAPAPAAPAAAPAPAPAAPAPAAPAAA==++=++=+′+′′=∪∪拨号是从0，1，2，…，9的10个数字中任取一个，有10种取法，第一次拨通的概率是110；第一次未拨通的概率为910，第二次拨号时，是从其余9个数字中任取一个，所以拨通的概率为19，到第二次拨通的概率为91110910′=，依此类推，到第n次拨通电话的概率都