弹性力学教程

（塑性条件）由弹性状态进入塑性状态属于初始屈服。1、初始屈服函数简单应力状态：拉伸s，0-s剪切s，0-s一般应力状态：6个独立应力分量0fzxyzxyzyx，，，，，或0fij——初始屈服函数材料各向同性时，用坐标选择无关的量0f321，，或0f321，，因为屈服与平均应力无关，所以二、屈服曲面1、初始屈服曲面：在复杂应力状态下，初始屈服函数在应力空间中表示一个曲面，称为初始屈服曲面由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成。2、屈服轨迹应力矢量静水压力影响不影响屈服，只决定于，所以SP直线为屈服面上的点，所以屈服面为一柱面，且平行L直线。屈服轨迹：屈服曲面与平面的交线。3、屈服轨迹的性质基本假设a、均匀各向同性材料。b、没有包辛格效应。c、塑性变形与平均应力无关。性质：（1）屈服曲线是一条将原点包围在内部的封闭曲线；（2）材料的初始屈服只有一次。（3）屈服曲线对称于AA’,BB’,CC’的轴。上，对称于AA’。（4）屈服曲线对称于AA’,BB’,CC’的直线。在屈服曲线上，所以屈服曲线是一条包含原点，在其内部的封闭外凸曲线，且具有6条对称轴，由12条相同弧段所组成。§3.2几种常用的屈服条件一、Tresca屈服条件（最大剪应力条件）当最大剪应力达到一定的数值时，材料就开始屈服。kmaxk——试验常数312321，，，，均在屈服曲线1、主应力已知2、主应力次序未知平行于L的正六边形柱面。外接圆半径：2k如：平面应力状态令3203的平面斜截所得的图形3、应力不变量表示Tresca条件：4、优缺点优点：条件是主应力的线性函数，主应力方向已知时，方便。缺点：忽略了中间应力的影响，且屈服曲线有角点，数学上不方便。令321sss有：01233-sin31cosJk2s-s23231-231JJK二、Mises屈服条件认为当形状变形比能达到一定数值是，材料开始屈服。即2、几何图形如前。平面应力状态下，3、优缺点：优点：考虑了中间应力对屈服的影响，屈服曲线最简，数学处理上容易，较精确。缺点：未考虑平均应力的影响。（对岩石类材料不适用）22132322212213232221k8---k314---61EE1、用应力偏张量不变量表示：22k34J032222121k4-椭圆。4、k值的确定简单拉伸：0s1，032T条件2ks，M条件：2ks纯剪切：1，02，3三、双应力屈服条件（最大偏应力屈服条件认为在一点的应力状态中，除了最大主剪切应力τ13外，其他的主剪切应力也将影响材料的屈服。（有两个独立）单两个较大的主剪切应力的绝对值之和达到某一数值时，材开始屈服。T条件：sk，M条件：s23k∴T条件:2ss,M条件：3ss设：321，2||2112，2||3113，2||3223s321121321||||，||||2312s321231321||||，||||2312|1、几何表示2、应力偏量不变量表示：0132sin32sinmax3s'2，J)(sin'22333123'31JJ6§3.3屈服条件的实验验证一，薄圆管受拉力和内压的联合作用（Lode，1926年）已知：平均半径为R，壁厚为h，hR由材力知：hgR，h2RP，0r若z，则1=，2=z，3=r=0=313222=gg22RRPP=0时，=-1简单拉伸P=g2R时，=0纯剪切P=2g2R时，=1压缩Tresca屈服条件：s31=1Mise屈服条件：J'2=k234=2s31s=)2()(3126131212322s31=32最大偏应力屈服条件：二、薄圆管受拉力和扭矩联合作用（Taylor—Quinney，1931）s31=||34z=h2RP，h22zRT0212002122z2zz3r22z2zz1三、结论1、Mises屈服条件较Tresca、最大偏应力理论更符合实验。2、Mises、Tresca屈服条件主要适合于延性金属材料。3、双剪应力屈服条件也适合于岩石及土体材料。=313222=RTPP2224T=0，P0，=-1简单拉伸P=0,T≠0，=0纯剪切Tresca屈服条件：22s31132sz2szMises屈服条件：s2z2zz42411443412sz2szsz实验图在P45§3.4后继屈服条件及硬化模型一、后继屈服条件的概念1、单向拉伸2、复杂应力状态下3、后继屈服条件（硬化条件）后继屈服面又称为硬化面或加载面。后继屈服条件（硬化条件）：确定材料处于后继弹性状态还是塑性状态的准则。后继屈服函数（硬化函数、加减函数）：表示屈服条件的函数关系。0hij），（h------硬化参数合。服面与初始屈服面不重对于硬化材料：后继屈重合。继屈服面与初始屈服面对于理想塑性材料：后二、几种硬化模型1、单一曲线假设认为对于塑性变形中保持各向同性的材料，在简单加载的情况下，各应力分量成比例增加，其硬化特性可由应力强度和应变强度的确定函数关系来表示：，且该函数的形式与应力状态形式无关，而仅与材料特性有关。2、等向硬化模型认为后继屈服面在应力空间中的形状和中心位置保持不变，随着塑性变形的增加，逐渐等向的扩大。不计静水压力和包辛格效应3、随动硬化模型认为材料在塑性变形的方向上被硬化，而在其相反方向上被同等软化。考虑包辛格效应。屈服面的大小，形状不变，只是整体平移了。4、组合硬化模型认为后继屈服面的形状，大小和位置一起随着塑性变形的发展而变化。第4章塑性本构关系增量理论（流动理论）levy-Mises理论，Prandtl-Reuss理论全量理论（形变理论）H.Hencky理论，Naday.依留申§4.1加载与卸载准则一、理想弹塑性材料的加载与卸载准则后继屈服条件与初始屈服条件相同0fij）（ijf方向----屈服面外法线方向准则0dfijij加载ijijdf0卸载二、强化材料准则A点屈服面0准则ijijd0加载ijijd=0中性变载ijijd0卸载中性变载为强化材料所特有。§4.2弹性应力-----应变关系一、广义虎克定律：）（zyxx1E）（1xzyyE）（xyzz1EGyzyzGxzzxGxyxy改写或写为：二.偏量形式的本构关系其中（五个独立方程，因为）由得所以.本构关系为：结论1.体积变形是弹性的。2.应力偏量与应变偏量成比例。3.等效应力与等效应变成比例。三.卸载胡克定律服从弹性规律（增量形式）§4.3全量型本构关系伊柳辛理论（小弹性塑性变形理论）1假设①体积变形是弹性的②应力偏量与应变偏量相似且同轴③存在单质对应关系2本构关系简单加载定理简单加载：加载过程中，材料内任一点的应力状态。。的各分量都按同一比例增加。t→单调递增的正参数2，简单加载定理四个条件：①变形是微小的。②材料是不可压缩的③外载荷按比例单调增长，若有位移边界，只能为零位移边界。④材料的曲线具有形式满足，则为简单加载。3适用范围：满足简单加载条件。三，卸载定理：卸载时，按弹性规律变化。残余应力残余应变§4.4全量理论的基本方程及边值问题的提法1.平衡方程:0,ijijF2.几何方程)(21..ijjiij3.本构方程:)(2321ijijkkkkSeE4.应力边界条件:上在TSijijdTnd5.位移边界条件:上在u0Suuji6.连续性条件：弹塑性区交界面上15个未知量，15个方程，可按位移法或应力法求解，比弹性求解还困难。§4.5理想塑性材料的增量型本构关系Lery-Mises理论：1，理论假设：⑴在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）ijpijpijeijdddd⑵体积变形是弹性的。kkkkdEd21当体积不可压缩时，0kkd21021E⑶0dSddeijijpd－－比例系数，决定于质点的位置和加载水平2本构关系ijijijijkkijijSddSdddSddeppp忽略弹性应变03，说明：A应变增量与应力偏量主轴重合，即应变增量与应力的主轴方向重合。B应变增量的分量与应力偏量的分量成比例。4.的确定：ssijijmises屈服条件=23ssijij=s213232221)21】（）（）【（代入应变增量：=d123pijpijdd=s二.Prandtl—Reuss理论考虑弹性变形部分1.eijd=eepijeijdd其中：seijeijd21dG，seijpijdd∴sseijijijdd21dG令pd=32pijpijdd————等效塑性应变增量=32【2p2p1dd）（+2p1p2dd）（+2p1p3dd）（】21∴d=p2d3=ps2d3∵忽略弹性应变∴s2d3d=ijd=sijs2d32.的确定：微分0dssijij代入：sssesijijijijijd21d）（dG=ssssijijijijdd21G=0+2sd32令dωd=ijdeSij——形状变形比能增量∴利用mises屈服条件：2s12312sijij3121ss四、实验验证：杂加载情况。、增量理论仅适用于复影响。加载情况及加载历程的。增量理论能反映复杂瞬时段的变形积累而得、整个变形过程可由各、都利用了公式理论不考虑弹性变形理论考虑弹性变形，而、区别在于较三、两种增量理论的比或本构关系：43.dd2ises-eryRerand1s2321d21d2d3d21ded31.32dw3ijijmijsdijijkk222ijsdijijijkksdSMLvsstlPdwdSGSESWSGEdd成立。，和拉伸联合作用。拉伸联合作用，或扭转采用薄壁圆管受内压和ijpijpppdppdds.dd1dd21---2d313p23132＆4..6弹塑性强化材料的增量型本构关系若pdH，pd—等效塑性应变总量pddHHdddp2323ijijijkkkkSHddSGdedEd232121或ijijijmijSHddSGdEd232121＆4.7增量理论的基本方程及边值问题的提法一·平衡方程：0,ijijdFd二·几何方程：ijjiijdudud.,21三·本构关系：弹性区：ijijkkijdSGdEd2121塑性区：ijijijkkijSddSGdEd2121四·应力边界条件：ijijdTnd上在TS五