数理方法期中测验及答案

07801-808数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1现有一长度为l的均匀细弦，弦的0x端固定，xl端受迫作简谐振动sinAt（只在x=L处），弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数,uxt所满足的定解问题是（）。2000(0,0),0,sin(0),0,0(0).ttxxxxltttuauxltuuAttuuxl【2】有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温0u，那么此Z矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。0000(0,0),0,0(0),0,(0).xxyyxxxxayybuuxaybuuybuuuxb3常用三类齐次边界条件的统一表达式是（()(,)uufMtn），当（0）就是第一类边界条件；当（0）时，就是第二类边界条件。4积分30xJxdx（）。解利用递推公式1[()]()mmmmdxJxxJxdx和分部积分法，得32002321113212()[()][()]()2()()2().xJxdxxxJxdxxdxJxxJxxJxdxxJxxJxC二求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）（1）()()0,(0)0,()0.XxXxXXl（2）2'''2()()(9)()0,()0,|(0)|.rRrrRrrRrRaR解（1）因为我们已经知道，本征值0。设0，方程（1）中方程的通解是()XxAxB.由边界条件得A=B=0，即X（x）=0，为平凡解，故也不可能有0。设0，此时（1）中方程的通解是()cossinXxAxBx.0,cos0BAl.由于0A（否则()0Xx），故cos0l，所以有22121;cos1,2,.22nnnnxXAnll（2）3阶Bessel方程的通解是P13133RrCJrDYr，由(0)R知0D,()0Ra，得30Ja由此得到本征值为2321,2,,nnxna其中3nx是函数3Jx的第n个零点。相应的本征函数是333,1,2,.nnxRrCJrna三试在球坐标系,,r下将Laplace方程22222222111sin0sinsinuuuurrrrrr分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。（20分）解设(,,)()()()urRr,代入方程中，得2222222sin0sinsinddRRddRdrrdrdrrddrd，将变量和变量,r分离。为此，用22sinrR遍乘上式，并适当移项，可得222sinsinsinddRddrmRdrdrdd,其中2m是分离常数。由此可得两个微分方程20m,（1）和22211sin0sinsinddRddmrRdrdrdd.对上面第二个方程，再将变量,r分离22211sin(1)sinsinddmddRrllddRdrdr,其中(1)ll是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数表示，为了以后讨论方便，令(1)ll[可以证明任意一个实数都可表为(1)ll，其中l为另一任意实数或复数]。由此再得两个常微分方程2(1)0ddRrllRdrdr,(2a)将式中的导数求出，得到2()2()(1)()0rRrrRrllRr,(2b)以及221sin(1)0sinsinddmlldd.(3a)对方程（3a）作变换cosx以后，可以改写成222(1)(1)01ddmxlldxdxx,(3b)将其中的导数求出就有222(1)()2()(1)()01mxxxxllxx(3c)至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程（1）、(2)和(3).四（本题20分）均匀薄板占据的区域为带状区域（0xa，0y），边界上的温度分布为0||0axxuu,)1(|0axAuy，lim0yu。试用分离变量法求解板的稳定温度分布，即求解定解问题：2222000||0|(1),lim0.xxayyuuxyuuxuAua解令)()(),(yYxXyxu，代入原方程得''()()0XxXx''()()0YyYy0xxa由和边界上的条件，有0)()0(aXX解本征值问题''()()0(0)()0XxXxXXa，得本征值和本征函数为222,()sinnnnnxXxCaa解关于)(yY的方程得aynnaynnneBeAyY)(从而有(,)()sin,1,2,nynyaannnnxuxyAeBena1sin)(),(naynnaynnaxneBeAyxu0yyb由和边界上的条件，有)1(sin)(1axAaxnBAnnn0sin)(1nnnaxneBeA由此得),3,2,1(,0nAn)1(sin1axAaxnBnn注),3,2,1(,2sin)1(20nnAdxaxnaxAaBan1sin12),(naynaxnenAyxu。五（本题20分）半径为a高为h的圆柱体，上底的电势分布为2f，下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内(无源)的电势分布。即求解定解问题无源的（p27p46）与φ无关,对称性2222220010,,00,,0,.zzhauuuuazhzuuuu解分离变量，即令,uuzRZz代入方程得''22'''20,00.ZzkZzRRkR12其中2k是分离常数，方程(1)和(2)解依次是0000,0;kzkzZzAzBkZzAeBek(3)00000ln0,0.RCDkRCJkDYkk(4)由边界条件00auu和得000,CDD及00.Jka(5)可见对应k=0问题没有非零解。由(4)得本征值为01,2,,nnxkna（6）相应的本征函数为001,2,.nnnxRCJna(7)将本征值代入到（3）的第二个式子得到00.nnxxzzaannnZzAeBe由边界条件00,zu得0,nnnnABBA即，于是0002.2nnxxzzaannnnneexZzAashza（8）组合、叠加，得问题的一般解为0001,.nnnnxxuzCshzJaa（9）由边界条件2zhu代入，得00201.nnnnxxCshhJaa右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有003002002130004040000221122,nannnnxnnnnnnxCJdaxashhJxaxxxaJdaaaxxshhaJxa令0,nxxa应用分部积分法和递推公式，得03200000030101020001244,nxnnnnnnnnnxJxdxxJxxJxxJxxJxx上式用到降阶公式因此2020300124,nnnnnaxCxxJxshha将上式代入到(9),的原定解问题的解为0020123000014,2.nnnnnnnxxshzJxaauzaxJxxshha