弹性力学有限差分发和变分法

2020/1/1第五章用差分法和变分法解平面问题NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。差分法的数学基础：泰勒公式0xy0312456789101112A1314Bhh图5－1NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导0xy0312456789101112A1314Bhh图5－1设：为弹性体的某一连续函数,ffxy在平行与轴的一根网线上函数只随坐标的变化而变化。xx在节点0的近处将函数展成泰勒级数f22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxx（a）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导节点3的坐标，节点1的坐标，带入（a）0,0xh0,0xh假定网格间距充分小，二次项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为h22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx（b）（c）2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx（d）（e）0fx把（d）和（e）看成关于和的二元一次方程组220fxNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程把（d）和（e）看成关于和的二元一次方程组220fx§5－1差分公式的推导130213022022fffxhffffxh（5－1）（5－2）同理可以得到方向的上的差分公式y240224022022fffyhffffyh（5－3）（5－4）注（5－1）－－（5－4）是最基本的差分公式NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导混合二阶导数的差分公式65782130068572222214ffffffyyffhhxyxyhhffffh＝（5－5）四阶导数的差分公式40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffxyhffffffyh（5－6）（5－7）（5－8）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－1差分公式的推导讨论：（1）差分公式是微分方程在数学上的近似；（2）在推导（5－1）－－（5－4）时，略去了三次项及更高阶项；（3）由于是或的二次函数，所以基本差分公式（5－1）至（5－4）成为抛物线差分公式；fxy（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。0xy0312456789101112A1314Bhh图5－1NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解1、应力分量（不计体力）一旦求得弹性体全部节点的值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。0xy0312456789101112A1314Bhh图5－12240220021302200257682001[()2]1[()2]1[()()]4xyxyyhxhxyh（5－9）如果知道各结点的值，就可以求得各结点的应力分量。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解双调和方程对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。应力函数在域内应该满足上式。444422420xxyy整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式0xy0312456789101112A1314Bhh图5－10123456789101112208()2()()0（5－10）问题：边界上的点（边界附近的点）怎么办？？？？？？NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值。为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：xyxxxyyylmflmf在上s代入上式，即得：222222;xylmflmfyxyxyx（b）22222,,xyxyyxxy（a）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解由图（5－2）可见cos,coscos,sindylnxdsdxmnydsAB0xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2因此，式（b）可以改写成222222ddddddddxyyxfsysxyyxfsxysxNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解约去dy、dx得：xyddffdsydsx；（c）关于边界上任一点处、的值，可将上式从基点A到任意点B，对s积分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx；（d）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解由高等数学可知，ddd..dddxysxsys将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的φ值。为此利用分部积分法，得：dddd,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysybbbaaauxdvxuxvxvxduxAB0xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解将式(c),(d)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点B的,,.BBBxy,,,AAAxy0A0,0AAxy()()()d()dBBBABABABxByAAAAxxyyyypsxxpsxy（e）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解于是式(d)，式(e)简化为：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyyfsxxfs（5－11）（5－12）（5－13）讨论：（1）（5－11）右边积分式表示A－B之间，方向的面力之和；x（2）（5－12）右边积分式表示A－B之间，方向的面力之和；y（3）（5－13）右边积分式表示A－B之间，面力对B的力矩之和；y（4）以上结果不能用于多连体的情况。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解边界外一行的虚节点的值139141022ABhxhx（5－14）0xy0312456789101112A1314Bhh图5－11392Axh14102AyhNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（2）应用公式（5－14），将边界外一行虚结点处的值用边界内的相应结点处的值来表示。0AAAxy取（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处的值，以及所必需的一些及值，即垂直于边界方向的导数值。xy（3）对边界内的各结点建立差分方程（5－10），联立求解这些结点处的值。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－2应力函数的差分解（5）按照公式（5－9）计算应力的分量。说明：如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（5－10）必须加以修正。（4）按照公式（5－13），算出边界外一行的各虚结点处的值。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－4弹性体的变形势能和外力势能NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－4弹性体的变形势能和外力势能变分法：主要是研究泛函及其极值的求解方法。泛函：函数是函数的函数；能量法：弹性力学中的变分法；形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力和变形的最终大小确定－－保守场。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为§5－4弹性体的变形势能和外力势能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU101d2ijijijijijU或整个弹性体内的变形能11dddddd2ijijUUxyzxyzNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§5－4弹性体的变形势能和外力势能对应于平面问题，微元的应变能（应变比能）112