弹性力学本构关系.

例2-1对Mises屈服条件，证明证：Mises屈服条件为0322sJfklppklijmnmnklijklklijsssssJJ312122klpjpiljkinlmkmnmnnlmkss3121ijklijljkiklss31ijijijsJf2=mknlklmnssmknlsmn=skl例2-2对于强化材料，其初始拉伸屈服极限为s，若材料处于平面应力状态，即3=0，当加上1=2=s时，材料屈服，然后再施加应力增量d1与d2，且d1=d2，试按Mises屈服条件与Tresca条件判断材料所处的状态。解（1）应力状态是否在屈服面上当材料处于3=0，1=2=s的平面应力状态时，s3=s，s1=s2=s，s12=s23=s13=0该应力状态的J2和max分别为J2=[(s1)2+(s3)2+(s3)2]=(s)2max=(12)=s323131312121（2）加、卸载或中性变载取决(f/ij)dij的符号。•对于Mises屈服条件：dij=sijdij=s1d1+s2d2=0材料处于中性变载。•按Tresca屈服条件：dij=d1+0d2=d1显然，当d10材料处于加载，反之材料处于卸载。ijfijf2121例2-3已知处于平面应变状态（z=0）中的一个材料单元，它的应力量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑性，Poisson比1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有z=(x+y)=偏应力分量为sx=(2)，sy=(1+)，sz=(12)，sxy=syz=szx=0313131Mises屈服0=在施加dx=d时材料处于加载状态，对于理想弹塑性则要求dij=0sxdx+sydy+szdz=0由于dy=0，最后得ddz2120322sJf12sijf（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即0，三种应力应变曲线（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，0，（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾1234pd00)(0d(T0)dp0ddp0Drucker公设在加载过程中附加应力作正功在加载和卸载的应力循环中，则附加应力作正功123(4)ijdij.ij.ij0•从1点的应力状态（是静力可能的应力）开始，•施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服，•再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij+dij)，•然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态。一般情况下的应力循环0ij0ij0ij在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij所做的功应不小于零：Drucker公设0ijijijijijd0)(0在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零0)(0ijeijijijd0)(0ijpijijijd0)21(0pijijijijddpijeijijdddDrucker公设的两个推论（1）当1点处在屈服面内，即ij0ijpijijijd)(0pijijpijijdd0又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑性功（2）当1点处在屈服面上，即ij=0ij0pijijdd（1）对于不稳定材料（即有应变软化存在）的情况，应力循环不可能构成，因此，Drucker公设不适用于软化材料。（2）以上关于材料性质的Drucker公设并不是从热力学定律导出的，而是在大量宏观实验基础上总结出来的，它们对许多材料都适用。Drucker公设的两点说明加载面外凸性定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸0加载面n超平面dpijij0p0dAA00ijijAA0加载面n超平面dpijijpij正交流动法则塑性应变增量必须沿着外法向方向npijdijpijfdd假定屈服函数f与静水压力无关，必然是一个偏张量，因此，也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。ijfpijddp与n两者方向一致，则Drucker公设变为dn0只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。塑性势理论类比了弹性应变可用弹性势函数对应力微分的表达式，g是塑性势函数。•g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈服面正交。在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f•若gf，为非关联的流动法则，塑性应变增量与屈服面不正交。ijpijgdd•Mises屈服条件相关联的流动法则ijijpijsdfdd0,300,3302222s22s2s2dJ/JdJ/J/Jd或pijpijded塑性应变增量是一个偏量ijijijsddsGde21kkkkdEvd)21(Prandtl-Reuss本构关系理想塑性材料•相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件）•理想弹塑性问题，应在平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件如塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可将弹性应变增量忽略，应力增量与应变增量的关系变为=dsij这是一种理想刚塑性模型。Levy-Mises本构关系pijijdd讨论：•当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量dij各分量的比例关系，由于d未知，不能确定应变增量dij的大小。•其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。但变形必须始终保持协调而受到相互限制。应变大小的确定需结合变形协调条件。反过来若给定dij，则可以确定sij。22231221sijijijijdddssJsijijddd23ijijijsijddds32pppppddddddp313122uupd•Tresca屈服条件相关联的流动法则不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成f1=23s=0f2=3+1s=0f3=12s=0f4=2+3s=0f5=31s=0f6=1+2s=0当应力点位于f1=0上ijpijfdd11)::(321pppddd=(0d1d1)当应力点位于f2=0上ijpijfdd22)::(321pppddd=(d20d2)当应力点在f1=0和f2=0的交点上iipifdfdd22111::)1(::::2112321dddddddppp10211ddd可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，这个变化区域称之为尖点应变锥pijdffnn例2-4：有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。解∶环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为=0z=r或e=0ez=erLevy-Mises流动理论s=0sz=srszrsss22223可得偏应力为：s=0sz=sr=3s3s=0z=+0r=+03s3sr=0，因此有0==最后p=tprrts33s强化材料的弹塑性本构关系df=dij0加载d0，否则d＝0联系d与df设d=dijh为塑性模量，一般假定它与dij无关塑性应变增量与应力增量dij之间成线性关系ijfhdfh11ijfklklijpijdffhd1pijd只要屈服函数f和塑性模量h已知，则增量本构关系可确定如何根据加载面f(ij，)的演化求得塑性模量h。根据一致性条件ijijpijpijpffdddd23232ijijpσfσfdd320ppijijddfdfpijijpdfdfdijijijijijijpdfhdfffdfd1321一旦加载面f(ij，)的演化确定，可求出塑性模量h确定加载面的演化，以Mises屈服条件为例，f(ij，)=演化函数可通过单轴拉伸试验曲线确定ijijpffdfh320)(pdijijsJf2123132ijijffpddppddddddfh单轴拉伸下，应力状态：11=，22=33=12=23=31=0应变状态等效应力和累积塑性应变分别为单轴拉伸下的p关系曲线就是关系曲线h就是p关系曲线的切线斜率ppdd1123322pppddd0312312pppdddppdpdppdddddh'单轴拉伸试验测出的是的关系曲线=()=e+p=+p=()=(+p)d=(+dp)是曲线=()的斜率sppsEEEdEEddhp例2-6．已知某材料在单轴拉伸时进入强化后满足d/dp==const条件，若采用Mises等向强化模型，求该材料纯剪时d/d的表达式。解：根据正交流动法则，在1、2方向施加剪应力12=，使之处于纯剪状态，则产生的塑性剪应变增量应是纯剪时的应力状态是：s12=12=，s11=s22=s33=s23=s31=0，J2=21212121fdfhddklklpp221232123121JdJdpddp3dGddddpe3311Gdd例:薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z(1)首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3；(2)先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s；(3)比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。EEsss/3(1)(2)(3)TMzz解：（1）求塑性模量：在单轴应力状态下，弹性应变是。而塑性应变是塑性模量应是EeEsepEddhp（2）加载判别：当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决于(f/ij)dij是否大于零。该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：sz=z，sx=sy=z，sz=sz=z，32313312222szzJ