数理方程试卷A

一.(10分)填空题1.初始位移为)(x,初始速度为)(x的无界弦的自由振动可表述为定解问题:).(),(0,,002xuxutxuautttxxtt2.为使定解问题0,00002tlxxxxxtuuuuuau（0u为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(xwtxvtxu,则可选)(xwxu03.方程0xyu的通解为)()(),(yGxFyxu4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5．方程yxuxy2满足条件1cos),0(,)0,(2yyuxxu的特解为1cos61),(223yxyxyxu二.(10分)判断方程02yyxxuyu的类型，并化成标准形式．解：因为)0(02yy，所以除x轴外方程处处是椭圆型的。……2分它的特征方程是022ydxdy……5分即iydxdy特征线为21ln,lncixycixy作变换：xyln……7分求偏导数)(112uuyuuyuuuuuyyyxxx将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式uuu……10分三.(10分)求解初值问题xuxutxuutttxxttcos,0,,4020解：xxxxacos)(,)(,22利用达朗贝尔公式atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),(……5分得)]2sin()2[sin(414cos41])2()2[(21),(222222txtxtxdtxtxtxutxtxtxtx2sincos21422……10分四.(15分)用分离变量法解定解问题.0,0|,00,0,0002tttlxxxxxxttuxuuutlxuau解先求满足方程和边界条件的解.设解为)()(),(tTxXtxu……2分代入方程得)()()()(2tTxXatTxX除以)()(2tTxXa有)()()()(2tTatTxXxX得到两个常微分方程0)()(xXxX……3分0)()(2tTatT……4分由边界条件得0)()(,0)()0(tTlXtTX由0)(tT，得0)(,0)0(lXX……5分于是固有值问题为0)(,0)0(,0)()(lXXxxX解之得一系列固有值,2,1,0,)(2nlnn相应的固有函数为xlnxXncos)(……8分再解方程0)()()(2tTlantT，通解为tlanDtlanCtTnnnsincos)(……10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解1cos)sincos(),(nnnxlntlanDtlanCtxu……12分由初始条件0|0ttu，得0nD，……13分由得,0xut1cosnnxlnCx其中llxdxlC0021lnnnnldxlnxlC02,2,1],1)1[()(2cos1……14分将nnDC,代入),(txu得定解问题解122coscos1)1(22),(nnxlntlannlltxu……15分五.(15分)解非齐次方程的混合问题xutuutxxuutxxxxt0.00,0,00,0,00解先确定固有函数)(xXn.令)()(),(tTxXtxu代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题0)(,0)0(0)()(XXxXxX固有函数为,2,1,sin)(nnxxXn……5分设解为1sin)(),(nnnxtTtxu（1）……7分其中)(tTn是待定函数.显然),(txu满足边界条件.为确定函数)(tTn,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数1sin)(nnnxtfx（2）……8分其中nnxdxxtfnn2)1(sin2)(10……9分再将（1）,(2)代入方程得1120sin2)1()()(nnnnnxntTntT比较系数,有,2,1,2)1()()(12nntTntTnnn……10分由初始条件得0sin)0(1nnnxT所以0)0(nT……11分解初值问题,0)0(2)1()()(12nnnnTntTntT得)1(2)1()(231tnnnentT……14分将)(tTn代入级数(1)，得定解问题的解.nxentxuntnnsin)1()1(2),(1312……15分六.(15分)用积分变换法解无界杆热传导问题).(0,,02xutxuautxxt本题所用公式：taxtaetaeF22224121][解对x作傅氏变换，记),(~tuF)],([txu)(~F)]([x……2分对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有)(~~~~022tuuadtud……7分解常微分方程的初值问题，得taetu22)(~),(~……10分再对),(~tu进行傅氏逆变换得),(txuF])(~[221tae……13分taxetax22421)(detatax224)()(21……15分七.(15分)用静电源像法求解上半平面0y的狄利克雷问题).(|0,00xfuyuuyyyxx解先求格林函数，由电学知在上半平面0y的点),(000yxM处置单位负电荷，在0M关于x轴的对称点),(001yxM处置单位正电荷，则它与0M产生的电势在x轴上互相抵消，因此上半平面0y的格林函数为)1ln1(ln21),(100MMMMrrMMG20202020)()(ln)()ln(41yyxxyyxx……7分下面求00yyyGnG0)()()(2)()()(2412020020200yyyxxyyyyxxyy20200)(1yxxy……10分所以dxyxxxfydlnGuyxu2020000)(1)(),(……15分八.(10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f．证明：假设有两个调和函数),,(1zyxu和),,(2zyxu，它们在有界区域的边界上完全相同，则它们的差21uuu在中也满足方程0u，且0|u。由极值原理的推论知，函数u在区域上最大值和最小值均为零，即0u。因此21uu，即狄利克雷内问题的解是唯一的。……5分其次，设在区域的边界上给定了函数f和f，而且在上处处成立ff，这里是一个给定的正数。设uu,分别是方程0u在区域上以f和f为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数ffuu|)(。由极值原理的推论可得，在上各点有)(max)(maxffuu，)(min)(minffuu.因此，在上各点有ffuumax，即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。……10分