弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

1弹性力学简明教程(第四版)2【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。xy2h1hbgo2hbxyl/2h/2hMNFSF1qqxyl/2h/2hMNFSF1qq图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100xfs01gyh1gyhyfs1gh00代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：100(),0;xxyxxgyh1bb(),0;xxyxxgyh②在小边界0y上，能精确满足下列应力边界条件：00,0yxyyygh③在小边界2yh上，能精确满足下列位移边界条件：220,0yhyhuv这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0sNFFghbM3由于2yh为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：222100000byyhbyyhbxyyhdxghbxdxdx⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmxf(s)yf(s)2hy0-10q2hy01-1q0-/2()yyhq，-/2()0yxyh，/2()0yyh，/21()yxyhq②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()hxyxShhxxNhhxxhdxFdxFydxM③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件0,0lxlxvu这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：110,xNNNNFFFqlFqlF0,0ySSSSFFFqlFqlF2211110,'02222ASSqlhqlMMMFlqlqlhMMFl由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故MNFSF4/21/22/21/2/2/2()()22()hxxlNNhhxxlShhxyxlSShdyFqlFqlhqlydyMMFldyFqlF【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于hl，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面OA面上面力qbxffyx,0由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有0000200000022120bbbyyybbbyyybyxyxqbdxfdxqdxbxbqbxdxfxdxqxdxbdx(对OA中点取矩)(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则00200002120byNybyybxyyqbdxFqbxdxMdx综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：xyhob,1hbqAxyho/2bMA/2bNF2NqbF212qbMab图2-195qqqqababyxOqqqqababyxOxylO/2h/2hqlh?图2-20图2-21（a）图2-20，22xyqbs=，0yxy。【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0xyff0yxxxy0yxyyx显然满足（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有等式左=2222xyxy=220qb=右应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（b）图2-21，由材料力学公式，xMyI，*sxyFSbI(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的解答:332xxyqlh，22233-(4)4xyqxhylh。又根据平衡微分方程和边界条件得出：333222yqxyxyqxqlhlhl。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩312hI，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程23(),62qqxMxxFxll。6所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：332xMxxyyqIlh2222233431.424sxyFxyqxhybhhlh。根据平衡微分方程第二式（体力不计）。0yxyyx得：333.22yqxyxyqAlhlh根据边界条件/20yyh得q.2xAl故333.2.22yqxyxyqxqlhlhl将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：22336.60xyxyqqlhlh左右满足第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）22223312.12.0左右xyxyxyqqxylhlh应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力0y，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()MxFx，横截面对中性轴xylO/2h/2hF1xylO/2h/2hF17的惯性矩为3/12zIh，根据材料力学公式弯应力3()12xzMxFyxyIh；该截面上的剪力为sFxF，剪应力为*2233()/262241/12sxyzFxSFhhyFhybyybIhh取挤压应力0y（2）将应力分量代入平衡微分方程检验第一式：2312120FFyyhh左右第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程2()0xy左右满足相容方程（4）考察边界条件①在主要边界/2yh上，应精确满足应力边界条件(2-15)lmxfyf2hy上0-1002hy上0100代入公式（2-15），得-/2/2/2/20,0;0,0yxyyyxyhyhyhyh②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4hxxhhxxhhhxyxhhdyxydyFhdyydyFyh向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力边界条件MNFSF8③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,NSFFFMFl其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/23/2/212()0hhxxlNhhFdylydyFh/2/223/2/212()hhxxlhhFydylydyFlMh2/2/223/2/26()4hhxyxlShhFhdyydyFFh满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。第一章平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数3ay在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a取何值，应力函数3ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得6,0,0xyxyyxay⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察x分布情况，注意到0xy，故y向无面力左端:0()6xxxfay0yh00yxyxf右端:6xxxlfay(0)yh()0yxyxlf应力分布如图所示，当lh?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xylOh图3-89xyOxfxf主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：2()0/6/6xAppeehbhbh同理可知，当a0时，可以解决偏心压缩问题。【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴2,axy⑵2,bxy⑶3,cxy试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解答】（1）由应力函数2axy，得应力分量表达式0,2,2xyxyyxayax考察边界条件，由公式（2-15）()()()()xyxsxyxysylmfsmlfs①主要边界，上边界2hy上，面力为()22xhfyax()2yhfyah②主要边界，下边界2hy，面力为()2,2xhfyax()2yhfyah③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为x向主矢：/20/2()0hxxxhFdyy向主矢：/20/2()0hyxyxhFdy主矩：/20/2()0hxxhMydy次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为ePPexylO/2h图3-9/2h()lh?al2ahOxyyxxyahal2al2ahOxyyxxyahal2A10x向主矢：/2/2()0hxxxlhFdyy向主矢：/2/2/2/2()(2)2hhyxyxlhhFdyaldyalh主矩：/2/2()0hxxlhMydy弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示⑵2bxy将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式2xbx，0y，2xyyxby考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得在2hy主要边界，上边界上，面力为,022xyhhfybhfy在2hy，下边界上，面力为,022xyhhfybhfy在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：在左边界x=0，面力分布为00,02xyfxfxby面力的主矢、主矩为x向主矢：2020hhxxxFdyy向主矢：