弹性力学简明教程第八章

第八章空间问题的解答第五节等截面直杆的扭转第四节按应力求解空间问题第三节半空间体在边界上受法向集中力第二节半空间体受重力及均布压力第一节按位移求解空间问题第六节扭转问题的薄膜比拟第七节椭圆截面杆的扭转第八节矩形截面杆的扭转例题习题的提示和答案教学参考资料第八章空间问题的解答1.取u,v,w为基本未知函数。按位移求解2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即§8－1按位移求解空间问题第八章空间问题的解答其中体积应变)(),,;,,(,12,211awvuzyxzvywμEτxuμμμEσyzx。zwyvxu按位移求解3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：第八章空间问题的解答其中拉普拉斯算子,0211122xfuxμμE)(),,;,,(bwvuzyx。2222222zyxV内基本方程第八章空间问题的解答4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：yuxvmxuμμlμE2211。xsfzuxwn2),,;,,(wvuzyx)(c)(上在σs。uus)()(dsu上在)(a边界条件位移边界条件仍为:第八章空间问题的解答（2）上的应力边界条件(c),（3）上的位移边界条件(d)。归结：按位移求解空间问题，位移u,v,w必须满足：σsus按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b),第八章空间问题的解答优点在空间问题中，按位移求解方法尤为要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。第八章空间问题的解答按位移求解空间轴对称问题在柱坐标中，可以相似地导出：位移应满足：),,(zzρuu,)(,0211)1(2,021112222efuzEfuuEzz轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，第八章空间问题的解答轴对称的拉普拉斯算子为。1222σSuS其中体积应变;zuuuz轴对称问题（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。第八章空间问题的解答1、试导出空间问题中上的应力边界条件（8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程（书中式（8-4）），并将上的应力边界条件用位移来表示。σSfσs)(思考题σs第八章空间问题的解答设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。ρgfz§8－2半空间体受重力及均布压力问题第八章空间问题的解答采用按位移求解：,0u,0v)(azww。考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，∴可设位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。第八章空间问题的解答（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，。0dddd211122222gzwzwE)(122112bBAzEw。求解方程积分两次,得第八章空间问题的解答,1Azgσσyx,Azgσz。0xyzxyz)(c相应的应力为求解方程第八章空间问题的解答（2）在z=0的负z面，应力边界条件为)()(,0,00dqzzzzyzx。)(0),(,1egzqgzqσσxyzxyzzyx。边界条件由式(d)求出A，得应力解为第八章空间问题的解答位移解为)(122112fBgqzEgw。0)(hzw其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；第八章空间问题的解答侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即。1zyzxσσσσ)(g侧压力系数第八章空间问题的解答当时，侧向变形最大，侧向压力也最大，说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。21μ。zyxσσσ0讨论：第八章空间问题的解答思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？第八章空间问题的解答2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得到什么形式的表达式？再转向平面应力问题，又将得到什么形式的表达式？并与平面问题的位移函数相比较（参见“弹性力学简明教程学习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习指导”）。第八章空间问题的解答设有半空间体，在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，而位移,而和应满足:,0uρuzu§8-3半空间体在边界上受法向集中力问题第八章空间问题的解答（1）平衡微分方程（书中（8-4））)(,0211,0211222auzuuzρ。zuuuz求解条件其中第八章空间问题的解答（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为。00,0zz,00,0zzσ,0zF;0d20Fσzzz)(c)(b（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：第八章空间问题的解答,21212zRRzERFu;122122RzERFuz布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为)(d由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。第八章空间问题的解答,3212322RzzRRRFσ,221zRRRzRFσ,2353RFzσz。5223RzFz。2122zR其中)(e第八章空间问题的解答应力特征：;0,应力R。应力,0Rzzσ和)(120fEFuzz。（3）水平截面上的全应力，指向F作用点o。边界面上任一点的沉陷，（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当第八章空间问题的解答若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式。baybaFdd1dy,分布力第八章空间问题的解答1.试由位移函数的表达式(8-11)，导出式(8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题第八章空间问题的解答§8－4按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：按应力求解形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…τyz…为基本未知函数。第八章空间问题的解答因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题。)(SS第八章空间问题的解答3.在V内导出求应力的方程:;,,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz从几何方程消去位移，导出六个相容方程：（2）相容方程（六个）:（1）平衡微分方程（三个）。V内方程第八章空间问题的解答再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12））。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。SS应力边界条件第八章空间问题的解答（1）V内的三个平衡微分方程；SS其中(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的三个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的六个相容方程；第八章空间问题的解答（1）物体满足连续性条件导出形变和位移之间的几何方程导出相容方程。对于相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程是位移的连续性条件。（2）形变满足相容方程对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程对应的位移不存在物体不保持连续。第八章空间问题的解答（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。)(,0dd22aBxAfxf的解为)(0dd233bcxBxAfxf。的解为例如：（4）相容方程必须为六个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。第八章空间问题的解答式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。2cx)(b)(a)(b)(a第八章空间问题的解答在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应力函数应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章空间问题的解答思考题1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面应力问题的相容方程，为什么？(见例题4)2、在表面均受到法向压力q作用的任意形状的空间体，其应力分量是试证明这些应力分量是该问题之解（对于多连体还应满足位移单值条件）。,qσσσzyxzxyz。0xy第八章空间问题的解答扭转问题也是空间问题的一个特例。§8-5等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题第八章空间问题的解答扭转问题的提出:;0zyxfff,0zyxfff（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上下端面的面力，合成一对力矩M。第八章空间问题的解答引用按应力求解空间问题的方法—应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及上的应力边界条件。σSS按应力求解第八章空间问题的解答因此只有，代入3个平衡微分方程得1.由扭转问题特性,∵上下端面（）上无面力∴设∵侧面无任何面力，∴面z；0zσ,zfzyzx,。0xyzyxσσ设,0xzx。0yxzyzx,0yzy)(a,0zyxfff第八章空间问题的解答由式(a)前两式，得仅为（x,y）的函数；第三式成为)(byxzyzx。)(,cΦxyΦyxzyzx,又由偏导数的相容性，存在一个应力函数,Φ第八章空间问题的解答对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数表示为),(yxΦ,yΦzx。xΦzy