数理统计试题及答案

12010--2011学年第一学期考试试卷(A)课程名称：数理统计A（卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1.本次考试为闭卷考试。本试卷共计四页，共十二大部分，请勿漏答；2.考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3.答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4.答案写在本试卷上；5.考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一。填空题(每空2分，共12分)1．已知三事件A,B,C相互独立，概率分别为0.5,0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_。2．若()0.8,()0.7,(|)0.8PAPBPAB，则事件,AB是否独立。3．袋中有4个白球2个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为__________。4.设1~(1,1)XN,2~(0,2)XN,且相互独立，则12{124}PXX________。5.设129,,,XXX独立，均服从)2,0(2N。2221262227892()XXXYXXX服从分布________。6．设126,,,XXX为来自参数1泊松分布总体，X为样本均值，则()DX=____。二。（5分）设二项分布随机变量~(2,)XBp,~(3,)YBp，若4{1}9PX，求{1}PY三。（13分）已知X的概率密度函数为,01()0,axxfx其他，求（1）常数a的值；（2）求分布函数()Fx；（3）(0.60.7)PX。2四．（5分）设1DX，4DY，ρ0.6XY，求21DXY。五．（15分）已知(,)XY的联合概率分布，求：（1）求XY的分布;（2）计算()PXY；（3）写出X与Y各自的边缘分布，判断X与Y的是否相互独立？六．（5分）某人上班时需搭乘一趟公交车，若每天上班时的候车时间服从[0,5]区间上的均匀分布(单位：分)，问此人在300个工作日中用于上班的候车时间之和大于12小时的概率？（用标准正态分布函数表示）。YX–101–11/81/81/801/801/811/81/81/83七．（5分）设12,,,nXXX独立同分布,都在区间[0,]上服从均匀分布，求的矩估计和极大似然估计。八．（10分）现抽查了5mm玻璃总体的9个体的厚度，得到如下数据（单位：mm）：4.84.14.44.44.04.54.14.94.2（4.378,0.3153xs）设玻璃厚度服从正态分布，在显著性水平0.05下，（1）能否认为4.4？（2）在置信度0.95下，计算玻璃平均厚度的置信区间。tt0.050.1((8)2.306,(8)1.86)九．（5分）在相同条件下对两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）结果如下：甲：798076827876,(21178.5,s5.5x)乙：7377797575,(21175.8,s5.2x)假定两品牌的去污率服从正态分布且方差相同，问两品牌的去污率是否有显著差异？（0.01）0.01((9)3.25)t4十．（5分）一农场10年前在一鱼塘中按比例20:15:40:25投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下：试取＝0.05，检验各类鱼数量的比例较10年前是否有显著的改变。20.05(3)7.815十一．（10分）下面给出的是用于计算器的四种类型的电路的响应时间为（单位：ms）:列出方差分析表，判断不同类型的电路的响应时间是否有显著差异。（0.05(2,9)4.26F）十二.（10分）一种用于生物和医学研究的物质通过航空运输给用户。1000管此物质针剂用纸箱包装。在5次运输中，记录了纸箱在途中的转机次数（X），以及在终点时针剂被打破的数目（Y）。估计Y对X的线性回归方程516iix,5176iiy,52114iix,5211254iiy,51116iiixy2010--2011学年第一学期考试试卷(A)参考答案课程名称：数理统计A（卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩一。填空题(每空2分，共12分)种类鲑鱼鲈鱼竹夹鱼鲇鱼数量（条）132100200168600工厂响应时间iT2iiTn21inijjyA912108544387.2414B757827182.25187C813930300314X10203Y16917122251．已知三事件A,B,C相互独立，概率分别为0.5,0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_0.94。2．若()0.8,()0.7,(|)0.8PAPBPAB，则事件,AB是否独立0.8。3．袋中有4个白球2个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为___2/3_______。4.设1~(1,1)XN,2~(0,2)XN,且相互独立，则12{124}PXX____(1)(0)(1)0.5____。5.设129,,,XXX独立，均服从)2,0(2N。2221262227892()XXXYXXX服从分布__F(6,3)______。6．设126,,,XXX为来自参数1泊松分布总体，X为样本均值，则()DX=__1/6__。二。（5分）设二项分布随机变量~(2,)XBp,~(3,)YBp，若4{1}9PX，求{1}PY解：因为~(2,)XBp，所以2,2{}(1)(0,1,2)kkkPXkCppk220224{1}{2}(1)2/39PXPXCpppp因为~(3,)YBp所以33,3322{}(1)(1)(0,1,2,3)33kkkkkkPYkCppCk因而{1}PY=1—{0}PY=1—000303322126(1)1(1)1332727Cpp三。（13分）已知X的概率密度函数为,01()0,axxfx其他，求（1）常数a的值；（2）求分布函数()Fx；（3）(0.60.7)PX。解：（1）21100()|1,222xxaxafxdxaxdxa（2）200,0()()2,011,1xxxFxftdttdtaxxx（3）(0.60.7)(0.7)(0.6)0.490.360.13PXFF四．（5分）设1DX，4DY，ρ0.6XY，求21DXY。解：(,),(,)120.61.2XYXYCovXYCovXYDXDYDXDY6222122(1)221(,)41142211.23.2DXYDXYDXDYCovXY五．（15分）已知(,)XY的联合概率分布，求：（1）求XY的分布;（2）计算()PXY；（3）写出X与Y各自的边缘分布，判断X与Y的是否相互独立？解：(1)（括号了表示X-Y的可能取值。）所以XY的分布为：X-Y-2-1012P1/82/82/82/81/8（2）由XY的分布知：12()(0)(2)(1)3/888PXYPXYPXYPXY（3）X边缘分布X-101P3/82/83/8(列之和得X边缘概率)Y边缘分布Y-101P3/82/83/8(行之和得Y边缘概率)六．（5分）某人上班时需搭乘一趟公交车，若每天上班时的候车时间服从[0,5]区间上的均匀分布(单位：分)，问此人在300个工作日中用于上班的候车时间之和大于12小时的概率？（用标准正YX–101–11/81/81/801/801/811/81/81/8YX–101–11/8(0)1/8(1)1/8(-2)01/8(1)0(0)1/8(-1)11/8(2)1/8(1)1/8(0)7态分布函数表示）。解：本题属于中心极限定理的问题。设kX为第k天上班的候车时间，则3001kkXX为300个工作日中用于上班的候车时间之和。有题设知kX都服从从[0,5]区间上的均匀分布，所以250052.5,25/12212kkEXDX根据中心极限定理知：3001~-~kkXXNXN近似近似25（3002.5，300）12300即：（0，1）2530012所以：12-{12}1{12}111.21[11.2]1.2PXPX3002530012七．（5分）设12,,,nXXX独立同分布,都在区间[0,]上服从均匀分布，求的矩估计和极大似然估计。解：（1）由于2EX，EX2，所以的矩法估计量为ˆniixn112x2；（2）),0(U的分布密度为)(0)0(/1);(其它xxf，11()(),0,1,2,ln()ln,0niiniLfxxinLnn似然函数取对数求导令它为零，得，显然方程无解，即用常规方法无法求的极大似然估计。81111[0,]0minmaxmax()max()iiiininiiniinxxxxLxL注意到每个因而因此有，由于关于单减函数因此当在其最小值，取到最大值。所以，参数的极大似然估计为},,,max{ˆ21nxxx.八．（10分）现抽查了5mm玻璃总体的9个体的厚度，得到如下数据（单位：mm）：4.84.14.44.44.04.54.14.94.2（4.378,0.3153xs）设玻璃厚度服从正态分布，在显著性水平0.05下，（1）能否认为4.4？（2）在置信度0.95下，计算玻璃平均厚度的置信区间。tt0.050.1((8)2.306,(8)1.86)解：(1)统计假设01:14:14HH（左边检验）检验统计两4.44.3784.40.21/0.3153/9XTSn，20.1(1)(8)1.86tnt20.10.21(1)(8)1.86Ttnt故接受原假设H0，能认为4.4。(2)0.05(1)(8)2.306tnt0.3153(1)2.3060.249stnn，的置信度为95%的置信区间为[,][4.3780.24,4.3780.24][4.16,4.64]XX九．（5分）在相同条件下对两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）结果如下：甲：798076827876,(21178.5,s5.5x)乙：7377797575,(21175.8,s5.2x)假定两品牌的去污率服从正态分布且方差相同，问两品牌的去污率是否有显著差异？（0.01）0.01((9)3.25)t解：12和分别表示甲、乙的平均去污率。统计假设012112H:H:，9由于方差相同，可以使用t检验．两个总体的样本方差分别为21s和22s，样本容量126,5nn检验的统计量120.0122112212121.925,||(652)(9)3.25(1)(1)112xxTTttnsnsnnnn接受H0，可以两品牌的去污率是差异不显著。十．（5分）一农场10年前在一鱼塘中按比例20:15:40:25投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下：试取＝0.05，检验各类鱼数量的比例较10年前是否有显著的改变。20.05(3)7.815解：属于总体分布的假设检验问题（拟合优度假设检验问题）。统计假设：0H:各类鱼数量的比例符合20:15:40:25（较10年前无显著的改变）1H:各类鱼数量的比例不符合20:15:40:25（较10年前有显著的改变）12341234123411233,=132=100,=200=168,202015=600