弹性力学讲义-第2章(p).

弹性力学讲义第二章平面问题的基本理论——byChenping第二章平面问题的基本理论本章主要内容平面应力和平面应变问题的概念平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立边界条件和圣维南原理按位移和按应力求解平面问题。平面应力问题平面应变问题问题简化平面问题[特殊形状+特殊外力（约束）]空间问题（空间物体+空间力系）§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题几何形状—等厚度薄板面力体力外力—平行于板面并且不沿厚度变化例如深梁,以及平板坝的平板支墩等2/t2/t应力、应变和位移zxyyzxyzx应力附1应变xyzyzzxxy位移uvw下面讨论平面问题的应力，应变和位移特点平面应力问题薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:02tzz02tzzx02tzzy0zxyyx,,由于板很薄,外力又不沿厚度变化0zx0zy0yz0xz切应力互等§2-1平面应力问题与平面应变问题t2/t2/t薄板上下面只有平面应力分量存在且仅为x，y的函数的弹性力学问题。yxxyyx,,§2-1平面应力问题与平面应变问题wvu,,xyzyzxzyx,0,,2/t2/t平面应力问题——非独立变量平面应变问题几何形状—柱形体很长面力、体力--在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化内在因素和外来作用都不沿长度变化。如挡土墙,涵洞或隧道,压力圆柱管,辊轴§2-1平面应力问题与平面应变问题涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴平面应变问题柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应变问题（二）平面应变问题（一）有限长度，轴向变形被限制无限长度，轴向变形也完全受到限制平面应变问题柱形体很长任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下平行于xy面的三个形变分量！vuw,,0xyyxzyzxz,,,0,00yzzy0xzzx§2-1平面应力问题与平面应变问题zxyyx,,,位移应变应力平面位移问题平面应变问题——只有平面应变分量存在，，，且仅为x，y的函数的弹性力学问题。xyxy§2-1平面应力问题与平面应变问题平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑xy面上的各个分量，原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断）§2-2平衡微分方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。表示区域内任一点（x,y）的微分体的平衡条件dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC§2-2平衡微分方程从平面问题中任取微小的正平行六面体x方向dxy方向dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心dyyfdxxfdf平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：222!21dxxxdxxxxdxxxx略去二阶及更高阶微量§2-2平衡微分方程简化为)()(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnndxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyo静力平衡微分方程公式推导yfxfC1.考虑了正负x,y面上应力增量2.公式推导以正的物理量表示3.应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力4.连续性、小变形假设静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§2-2平衡微分方程0CM21dxdydxxxyxy21-dydxdyyyxyx上式，引用§1-3，第(5)个基本假定——小变形假定！dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC21dxdyxy021dydxyx过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§2-2平衡微分方程0CM2121dydxdydxdxxdydxxyxyxy2121dxdydydxdyydxdyyxyxyx静力平衡微分方程公式推导移项§2-2平衡微分方程0abMdyydxxyxyxxyxy2121yxxy切应力互等定律命dx及dy趋于零化简为静力平衡微分方程公式推导（2-1）以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方程0xF1dydxxxx1dxyx静力平衡微分方程公式推导dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC1dyx01dxdyfx1dxdyyyxyx以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方程0xF0xyxxfyx上式约简后，得平衡方程:由得相似的微分方程：0yxyyfxy平面问题的平衡微分方程0yF静力平衡微分方程公式推导（2-2）对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：平衡微分方程表示任一点(x,y)的平衡条件，(x,y)属于平面域A，所以也代表A中所有点的平衡条件。式(2-2)第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。由于，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程(2-2)中含有3个应力未知函数。弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。yxxy(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。123bhyMzx例题分析100yxyyxyxxfxyfyx123bhIbh)(xfdyIyxMz解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为QxMz)(2)(2xfyIQxfdyIyxMzxy0][2hyxy0)(2212xfhIQ0yxyxxQMM+MQdxM)(xfdyxxxy123bhIIQhxf8)(22232242348yhbhQyhIQxy§2-3几何方程刚体位移考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量与位移分量之间的关系式,也就是平面问题中的几何方程。xy0一点的变形§2-3几何方程刚体位移取任意一点Px方向线段PA=dxy方向线段PB=dyuPBAPABvdxxuudyyvvdyyuudxxvv线段PA正应变一点的应变位移关系——正应变xudxudxxuuxPB的正应变yvy§2-3几何方程刚体位移xy0uPBAPABvdxxuudyyvvdyyuudxxvvdxdy试证明图中y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。问题xy0uPBAPABvdxxuudyyvvdyyuudxxvv一点的应变位移关系——切应变求线段PA与PB之间的直角的改变,也就是切应变,用位移分量来表示。xydxdyyuxvdxvdxxvvyuxvxy切应变平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的几何方程为:yuxvxy位移分量完全确定时,应变分量即完全确定xuxyvy§2-3几何方程刚体位移反之,当应变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。（加三个适当的约束条件可以确定）当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：试命应变分量等于零,即0xu0yv0yuxv)(1yfu)(2xfvdxxdfdyydf)()(21求位移0xyyx§2-3几何方程刚体位移dxxdfdyydf)()(21这一方程的左边是y的函数,而右边是x的函数。因此,只可能两边都等于同一常数ω。dxxdfdyydf)()(21,yuyf01)(xvxf02)(§2-3几何方程刚体位移当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：yuyfu01)(xvxfv02)(这是“应变为零”时的位移,也就是所谓“与变形无关的位移”,因而必然是刚体位移。刚体位移根据平面运动的原理可以证明——uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移,而ω为物体绕z轴的刚体转动。yuu0xvv0应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移刚体位移yuu0xvv0应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移时当0,0,000uv0,0vuuuo代表物体沿x方向的刚体平移vo代表物体沿y方向的刚体平移0,0vvu（1）时当0,0,000vu（2）2222xyvutgxyxytgryx22当只有ω不为零时（3）xy0ZPxyryxr说明P点的位移是ω乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕OZ轴旋转一个角度刚体位移yuu0xvv0应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移刚体位移既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见,当物体发生一定的应变时,由于约束条件的不同,它可能具有不同的刚体位移,因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中,常数u0,v0,ω的任意性就反映位移的不确定性,而为了完全确定位移,就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。§2-4物理方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静力学方面、几何学方面和物理学方面。平面问题的物理学方面§2-5物理方程在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应力分量之间的关系,就是材料力学中的R.Hooke定律:)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEzxzxyzyzxyxyGGG111)1(2EGE——弹性模量G——切变模量——泊松比(侧向收缩系数)广义胡克定律§2-4物理方程平面应力问题:)(11yxzxyyyxxEEE00)1(2zxyzxyxyE000yzzxz平面应变问题:000xzyzz)(yxz)1(1)1(122xyyyxxEExyxyE)1(2§2-4物理方程平面应变问题:平面应力问题:EEEG)1(21)11(2)1(212E21E1剪切模量转换形式同样是不变的2)1()21(E1平面应变问题:平面应力问题:E思考题：1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），但发现混