弹性力学试题及解答

弹性力学试题及解答一、试确定应变状态22yxkx，2kyy，0z，kxyxy2，0yz，0zx是否存在。（10分）解：是平面应变问题，满足变形协调方程因此该应变状态存在。二、已知应力分量qx，qy，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。(15分)解：将已知应力分量qx，qy，0xy，代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知，已知应力分量qx，qy，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：yxxyxyxyyx22222)1(2)()(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。三、已知应力分量312xCQxyx，2223xyCy，yxCyCxy2332，体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。(15分)解：将所给应力分量代入平衡微分方程00xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC由x，y的任意性，得023030332231CCCQCC由此解得，61QC，32QC，23QC四、如果为平面调和函数，满足02，问)(221yx可否能作为应力函数？(15分)解：五、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1，液体的密度为2，试求应力分量。(20分)解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g1成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与g2成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，g1和g2的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是gxA1，gyB1，gxC2，gyD2四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设3223dycxyybxax相应的应力分量表达式为dycxxfyxx6222,gybyaxyfxyy12226,cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面，0x，1l，0m，作用有水平面力gy2，所以有gydyxx206)(对左面的任意y值都应成立，可见62gd2g1gyxO同时，该边界上没有竖直面力，所以有02)(0cyxxy对左面的任意y值都应成立，可见0c因此，应力分量可以简化为gyx2，gybyaxy126，bxxy2斜面，tanyx，cosl，sin2cosm，没有面力，所以有00tantanyxxyyyxyxxlmml由第一个方程，得0sintan2cos2bygy对斜面的任意y值都应成立，这就要求0sintan2cos2bg由第二个方程，得0sinsin4sintan6costan2sin2tan611ygbabygybyay对斜面的任意x值都应成立，这就要求04tan61gba由此解得321cot31cot61gga，22cot21gb从而应力分量为gyx2,yggxggy122321cotcot2cot，22cotgxxy。六、图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出yxy,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。(25分)题三（2）图解：（1）求横截面上正应力x任意截面的弯矩为306xlqM，截面惯性矩为123hI，由材料力学计算公式有yxlhqIMyx3302（1）（2）由平衡微分方程求xy、y平衡微分方程：(3)0(2)0YyxXyxyyxxyx其中，0,0YX。将式（1）代入式（2），有yxlhqyxy2306积分上式，得)(312230xfyxlhqxy利用边界条件：02hyxy，有0)(4312230xfhxlhq即2230143)(hxlhqxf)41(322230hyxlhqxy（4）将式（4）代入式（3），有0)41(62230yhyxlhqy或)41(62230hyxlhqyy积分得)()4133(62230xfyhyxlhqy利用边界条件：xlqhyy02，02hyy得：0)()8124(6)()8124(623330023330xfhhxlhqxlqxfhhxlhq由第二式，得xlqxf2)(02将其代入第一式，得xlqxlqxlq00022自然成立。将)(2xf代入y的表达式，有xlqyhyxlhqy2)413(602330（5）所求应力分量的结果：yxlhqIMyx3302)41(322230hyxlhqxy（6）xlqyhyxlhqy2)413(602330校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0）：0220hhxxdy，0220hhxxydy代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x=l）：022233022hhlxhhlxxdyylhxqdy2)4(30222232022lqdyhylhxqdyhhlxhhlxxyMlqylhlqdyylhxqydyhhhhlxhhlxx63222022333022233022可见，所有边界条件均满足。检验应力分量yxyx,,是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为0))(()(22222yxyxyx将应力分量yxyx,,式（6）代入应力相容方程，有xylhqxyx302212)(，xylhqyyx302212)(024))(()(3022222xylhqyxyxyx显然，应力分量yxyx,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。