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今日数学及其应用一、数学科学、高新科技与国家富强1．对数学的新认识之一国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高效率的经济管理。这是当代有识之士的一个共同见解，也已为各发达国家的历史所证实。在我国，邓小平同志把科技对生产建设的重要性提到前所未有的高度；在美国，科学院院士J．G．Glimm也曾幽默地说过：40年前，中国有句话说枪杆子里面出政权，而从90年代起，在全球应是科学技术里面出政权。他的话反映了国外许多人士对科技重要性的新认识。从最近海湾战争可以看出，高技术是保持国家竞争力的关键因素。高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。这句话把数学对高新技术的作用，从而对国富民强的作用，清楚地表达出来。当代科技的一个突出特点是定量化。人们在许多现代化的设计和控制中，从一个大工程的战略计划、新产品的制作、成本的结算、施工、验收、直到贮存、运输、销售和维修等等都必须十分精确地规定大小、方位、时间、速度、成本等数字指标。精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用。2．新认识之二数学科学对经济发展和竞争十分重要。好的经济工作者决不止是定性思维者，他不能只满足于粗线条的大致估计，而必须同时是一位定量思维者。数学科学不仅帮助人们在经营中获利，而且给予人们以能力，包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误。这些都是精明的经济工作者和科技人员所应具备的工作素质；大而言之，也是每个公民的科学文化素质。所以数学科学对提高一个民族的科学和文化素质起着非常重要的作用。3．新认识之三高技术本质上是一种数学技术。这种观点已为越来越多的人所接受。许多西方公司意识到：利用计算技术去解决复杂的方程和最优化问题，已改变了工业过程的组织和新产品的设计。数学大大地增强了他们在经济竞争中的力量。无怪乎美国科学院院士J．G．Glimm不仅称数学为非常重要的科学，而且说它是授予人以能力的技术。他说：数学对经济竞争力至为重要，数学是一种关键的普遍适用的，并授予人以能力的技术。时至今日，数学已兼有科学与技术两种品质，这是其它学科所少有的，不可不知。由于对数学重要性的重新认识，在欧洲建立了欧洲工业数学联合会，以加强数学与工业的联系，同时培养工业数学家去满足工业对数学的要求。在一篇有关的报告中，列举了欧洲工业中提出的20个数学问题，其中包括：齿轮设计、冷轧钢板的焊接、海堤安全高度的计算、密码问题、自动生产线的设计、化工厂中定常态的决定、连续铸造的控制、霜冻起伏的预测、发动机中汽轮机构件的排列、电化学绘图等等。4．数学与诺贝尔经济奖数学对经济学的发展起了很大的作用。今天，一位不懂数学的经济学家决不会成为杰出的经济学家。1969年至1981年间颁发的13个诺贝尔经济学奖中，有7个获奖工作是相当数学化的。其中有Kantorovich由于对物资最优调拨理论的贡献而获1975年奖，Klein设计预测经济变动的计算机模式（获1980奖年），Tobin投资决策的数学模型（获1981年奖）等等。在经济学中，用到的数学非常广泛，有的还很精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分法、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、有限结构（图论、格论）、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、集值测度，以及Arrow的合理意图次序理论等等，它们应用于经济学的许多部门，特别是数理经济学和计量经济学。5．爱因斯坦的见解在数学与其他科学的关系方面，培根曾说数学是通向科学大门的钥匙；伽利略说自然界的伟大的书是用数学语言写成的。物理定律，以及科学的许多最基本的原理，全是用数学公式表示的。引力的思想早已有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。另一位物理大师爱因斯坦认为，理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式的支配；他还认定理论物理的创造性原则寓于数学之中。他自己的工作证实了这一思想，正是黎曼几何为广义相对论提供了数学框架。科学大师们的工作和思想，引导到如下的信念：我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，正是这种制约使得世界成为可认识的。世界可知是唯物认识论中的最重要的原理。6．数学是什么？恩格斯说：数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。虽然时间已过去一百多年，这一答案大体上还是恰当的，不过应该把数量和空间作广义的理解。数量不仅是实数，而且是向量、张量，甚至是有代数结构的抽象集合中的元；而空间也不是仅指三维空间，还有n维、无穷维以及具有某种结构的抽象空间。这样，恩格斯的答案已基本上包含了数学的主要内容，尽管还有一些重要的篇章如数理逻辑等包不进去。7．数学的特点数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性。数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的。两种事物，如果有相同的量或形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的。同一个拉普拉斯（Laplace）方程，既可用来表示热平衡态、溶质动态平衡、弹性膜的平衡位置，也可表示静态电磁场、真空中的引力势等等。数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一数学结论不可动摇。这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全国人民的科学文化素质。它是人类巨大的精神财富。爱因斯坦关于欧氏几何曾说：世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心。8．数学的成份数学大体上可分为三大部分：基础数学、应用数学和计算数学。基础数学是数学中的核心，也是最纯粹最抽象的部分。它大致由三个分支组成：分析、代数和几何。这三者又相互交叉和渗透，从而产生解析几何、解析数论、代数几何等学科。此外研究随机现象的概率论、研究形式推理的数理逻辑等，也属于基础数学。应用数学研究现实中具体的数学问题，它既采用基础数学的成果，同时又反过来从实际中提炼问题、探讨新思想和新方法以丰富基础数学。数学应用的领域虽无边际，但大致也可分为三方面：经济建设（工、农、商等）；科学与技术（特别是高科技）；军事与国防，详述见后。运筹学、控制论与数理统计等学科中，大部分内容属于应用数学；而经济数学、生物数学等，则是比较标准的应用数学学科。计算数学偏重于计算，早期它致力于求出各种方程（代数方程、（偏）微分方程、微积分方程等）的数值解。近40年来，计算数学有了极其迅速的发展，这主要是由于电子计算机的出现。计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题成为可解，从而大大扩展了数学的应用范围。例如，短期天气预报、高速运行器的控制，离开计算数学和计算机是不可能的。近期，由于计算机模拟、计算辅助证明（如四色问题的证实）在人工智能中的应用，以及计算力学、计算物理、计算化学、计算几何、计算概率等新学科的诞生等等，使得计算数学雄风大振。今天，人们已把计算作为与理论、实验鼎足而立的第三种科学方法而引入科学界。基础数学、应用数学与计算数学既有各自的特点又紧密相互联系。一个重大的数学问题，特别是从实际中提出的数学问题，都需要上述三种数学的内容和方法。建立数学模型，寻求解题方法，需要基础数学和应用数学，而使解题方法得以实现，则离不开计算数学。这三种数学互相补充，互相渗透，大大地促进了整个数学科学的发展。9．现代数学的新特点数学内部各分支间的相互渗透、数学与其他科学（如控制论）的相互渗透、电子计算机的出现，正是当代数学三个新的特点。由于相互渗透而导致许多新问题和古老难题的解决，其成绩往往出乎意外而使人惊异。例如，对素数的研究以往认为很少有实用价值，却不料它在密码学中受到重用。密码学认为，千位以上的整数的素因子分解，几十年内在计算上不可能实现。但荷兰数学家得到了一个当前最好的因子分解算法，这严重地冲击了上述想法和密码的安全性。又如泛函分析中的无穷维VonNeumann代数解决了拓扑学三维空间中打结理论中一些难题。描写孤立波的KdV方程用于代数中，解决了Riemann提出的一个重要问题。描写随机现象的Malliavin演算给出了著名的Atiyah-Singer指数定理的新证明，并推广了这一定理。更使人感叹的是物理中的杨振宁——米尔斯规范场与陈省身研究的纤维丛间的紧密联系，二者间的主要术语竟可一一对应。例如，规范形式——主纤维丛、规范势——主纤维丛上的连络、相因子——平行移动、电磁作用——U（1）丛上的连络等等。无怪乎杨振宁说：我非常惊奇地发现，规范场说是纤维丛的连络，而数学家们在提出纤维丛上的连络时，并未涉及到物理世界。学科间的相互渗透是当今各门科学技术高速发展的必然后果，也是重要原因；只有置身于众多高新科技急剧发展的大背景中，数学内、外部的相互渗透才是可能的，也是容易理解的。10．数学发展的趋势今后数学的发展必然比最近数十年更迅速，成绩更巨大。科学技术越积累，人类认识、利用和改造自然的能力越增长，科学技术便越快发展，形成一良性循环。作为其中的一部分，数学也必然如此。总体上，高速发展是完全可以预言的；但至于哪些分支发展得更快些，更好些，则既依赖于该学科本身的活力又依赖于科技大背景的波动和社会的需要，难以肯定回答。不过从目前的情况看，非线性数学是一重要发展方向。线性方程的特征是叠加原理成立：如φ1、φ2是方程的两个解，则a1φ1＋a2φ2也是解，其中a1、a2是常数。例如薛定谔方程或拉普拉斯方程都是线性的。线性数学比较成熟。但还有许多问题是非线性的，如牛顿引力论中的基本定律是平方反比关系，粮食产量对肥料未必成正比等。引人注目的冲击波、孤立子、混沌现象、n体问题等都是非线性的。非线性问题，不仅涉及面广，而且难度也大，这反而更能引发人们研究的兴趣。除去非线性数学外，离散数学（涉及数论、抽象代数、数理逻辑、组合论、图论、博奕论、规划论等），概率论与数理统计、计算数学以及数学对生物学、经济学、语言学、管理学、控制论、复杂性等的渗透和应用，都会有更大的发展。其它数学也同样会有迅速的进展；甚至会爆出新的、出人意料的大冷门；晴空一鹤排云上，更引诗情到碧霄，这也是非常可能的。二、大哉数学之为用1959年5月，华罗庚教授在《人民日报》上发表了《大哉数学之为用》，精彩地叙述了数学的各种应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。很难比这篇文章写得更全面了。下面只举些60年代以后数学的若干重大应用，以见一斑。我们会看到，有些重要问题的解决，数学方法是唯一的，也就是说，除数学外，用任何其他方法、仪器、手段都会一筹莫展。1．沙漠风暴与数学战1990年伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日。美国及其盟军在沙漠风暴以前，曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼要求太平洋-赛拉研究公司研究此问题。该公司利用Navier-Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：大火的烟雾可能招致一场重大的污染事件，它将波及到波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促成美国下定决心。所以人们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。数学在军事方面的应用不可忽视。再举三个例子，海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和优化技术。另一例是：采用可靠性方法，美国研制MZ导弹的发射试验从原来的36次减少为25次，可靠性却从72％提高到93％。再者，我国研制原子弹，试验次数仅为西方的1／10，从原子弹到氢弹只用了2年8个月，重要原因之一是有许多优秀数学家参加了工作。2．太阳系是稳定的吗？地球的前途如何？是一个虽然遥远却非