数轴解决问题的方法

数轴解决问题的方法数学是研究数和形的科学，数和形有着密切的联系。数轴实现了数与形的第一次联姻，使数与直线上的点建立了对应关系，揭示了数与形的内在的联系，并由此成为数形结合的基础。数轴使抽象的数成为有“形”可依。因此，数轴是学习有理数及以后学习无理数的工具。首先，要理解数轴的概念。规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展。二是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。三是原点：原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计的零刻线；正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的，正方向一般地规定为向右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就是说单位长度是一条人为规定的代表“１”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定。其次，要会画数轴。数轴的画法分为四步：一画，画一条直线。二取，在这条直线的适当位置取一点，作为原点，用实点表示。三定，确定正方向，用箭头表示出来。四统一，选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出，并对应地标注各数，注意同一数轴的单位长度要一致。画数轴常出现的错误：（１）没有方向；（２）没有原点；（３）单位长度不统一；（４）负数的排列错误。其三，正确理解有理数与数轴上的点之间的对应关系。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，并且数轴上的点表示的两个有理数，右边的数总比在左边的数大。但是所有数轴上的点，并不全都表示有理数，因为数轴上的点，所表示的数除了有理数外，还有其他的数——无理数。其四，借助数轴学习有理数。因为数轴能把抽象的有理数直观地表示出来，所以我们可运用数形结合的思想，借助数轴认识相反数、绝对值的概念，建立比较有理数大小的法则和有理数的运算法则。数轴常见的解决问题的方法有：一、利用数轴表示数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.方法是先根据数轴的“三要素”准确画出数轴，然后在数轴上把这些数的对应点找出来，最后把对应的数写在点的上方.例1画出数轴，用数轴上的点表示下列各数.－，－1.5，，0，2.解：说明：画数轴时要明确“三要素”，原点（即0点）、正方向（一般是向右的箭头）、单位长度（单位长度要统一）要齐全.找对应点时要从原点出发，负数在左边，正数在右边，点要画成实心圆点，并且把对应的数写在点的上方.二、利用数轴比较数的大小在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的大，因此要比较有理数的大小，只要把它们都表示在同一条数轴上，大小就一目了然.例2比较下列各数的大小，并用“＜”把它们连接起来：+2，－1，，－2.5.解：说明：本题中所给出的有理数，既有正数、负数，又有分数，首先要准确地画出数轴，在数轴上分别描出各点，从左到右各点表示的数，就是由小到大.三、利用数轴理解相反数的意义只有符号不同的两个数称为互为相反数，零的相反数是零.结合数轴，可以更直观地理解相反数的含义：在原点的两旁，并且与原点的距离相等.例3在数轴上看，离开原点距离等于2的数是.解：结合数轴可知：距离原点2个单位长度的点为2和－2.说明：在数轴上，到原点距离相等的点有两个，这两个点所表示的数是互为相反数.相反数体现在数轴上，位于原点两旁，并且离开原点的距离相等.四、利用数轴理解绝对值的意义一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，距离是一个非负数，所以有理数的绝对值是非负数，即≥0.例4已知，求.解：=±3.5说明：本题求绝对值等于3.5的数，可以理解为在数轴上到原点的距离是3.5的有理数，所以这样的数有两个.五、利用数轴确定点移动后的位置例5点A为数轴上表示－2的点，当A点沿数轴移动4个单位长度到B点时，点B所表示的数为（）.（A）2（B）－6（C）2或－6（D）不同于以上答案解：选（C）.说明：在数轴上，与已知点距离相等的点一定有两个，它们分别位于已知点的两侧，借助数轴求解，把已知点按题中要求左右各移动一次，即可求出这两个数。六、求中位数例6：由小到大排列的一组数据，其中，则，的中位数是____________。分析要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。解：在数轴上任取表示的点，使，然后在数轴上找出，的相反数表示的点，如图。观察数轴知故所求的中位数为七、求字母的取值范围例7：已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是_____________。解：化简不等式组，得所以因此此不等式组的整数解共有3个所以x＝0，1，2观察图，可知：所以例8.若不等式组的解集不在范围内。求a的取值范围。解：由不等式组所以由图4，可知或，进而可得答案.图4八、求最值例10：若，求的最小值。分析在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x＝n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x＝n时，的值最小，最小值等于。九、两圆的位置关系设⊙O1、⊙O2的半径分别为，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图所示。图9例11：已知的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（）A.内含B.外离C.内切D.相交分析由题设，知：，，由图知故两圆相交，选D。