数集确界原理(经典课件)

§２数集确界原理教学内容：1．实数集的有关概念；2．确界的概念和确界原理。教学目的：1．使学生知道区间与邻域的表示方法；2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。引言：为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。一、区间与邻域：１．区间（用来表示变量的变化范围）：设,abR且ab。|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.xRaxbabxRaxbabxRaxbabxRaxbabxRxaaxRxaaxRxaaxRxaaxRxR开区间:有限区间闭区间:闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间注：读作正无穷大；读作负无穷大。２．邻域：联想字面意思：“邻近的区域”。设a为任一给定实数，（Delta----德耳塔）为一给定正实数。(1)点a的邻域：(;)||(,)Uaxxaaa(2)点a的空心邻域：),(),(||0)(aaaaaxxaU＝；(3)点a的右邻域和点a的空心右邻域：)[)(aaaxaxaU；＝；)()(aaaxaxaU；＝；(4)点a的左邻域和点a的空心左邻域：]()(aaaxaxaU；＝；)()(aaaxaxaU；＝；注：以后在没有必要指出邻域半径的大小时，以上领域我们可以分别简记为：)(),(),(),(),(U),(aUaUaUaUaaU(5)邻域，邻域，邻域：（其中Ｍ为充分大的正数）()||,UxxM(),UxxM()UxxM二、有界集与无界集：什么是“界”？――范围。定义１（上、下界）：设S为R中的一个数集。若存在数()ML，使得对一切xS都有()xMxL，则称Ｓ为有上（下）界的数集，数()ML称为Ｓ的上界（下界）。若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。[问题]：（１）上（下）界若存在，唯一吗？（２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1讨论数集|Nnn为正整数的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取1L；上界似乎无，但需要证明。解：任取0nN，显然有01n，所以N有下界１；但N无上界。证明如下：假设N有上界M,则M0，按定义，对任意0nN，都有0nM，这是不可能的，如取0[]1,nM则0nN，且0nM.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集。这里[x]表示不超过x的最大整数，如：.5]5[,3]5.2[,5]5[,2]5.2[[可以看到]：（1）若数集有（上、下）界，则它不唯一，且有无限多个；（2）同一数集的上界必大于等于其下界。三、确界与确界原理:１、定义：(最小的上界和最大的下界)定义２（上确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：(1)对一切,xS有x（即是Ｓ的上界）;(2)对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的上界中最小的一个），则称数为数集Ｓ的上确界，记作sup.S定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：（１）对一切,xS有x（即是Ｓ的下界）；（２）对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的下界中最大的一个），则称数为数集Ｓ的下确界，记作infS.上确界与下确界统称为确界。克西）－艾塔，KsaiYita(例2讨论数集Sxx为区间(0,1)中的有(无)理数的确界。分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。sup1,inf0.SS解先证1supS（ⅰ）对一切Sx，显然有1x，即1是x的S上界。(ⅱ)对任何1，若0，则任取Sx0都有0x；若0，则由有理数集在实数集中的稠密性，在)1,(中必有有理数0x，即存在Sx0，使得0x。类似可以验证.0infS例3（１）[0,1],sup1,inf0.SSS（２）(1)11,2,,sup,inf1.2nSnSSn（３）,sup,inf1.NNN不存在２、确界的性质：唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；若数集Ｓ存在上、下确界，则有infsupSS；数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界。定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界。证这里只证明定理的前半部分，后半部分可类似的证之。为叙述方便起见，不妨设Ｓ含有非负数，由于Ｓ有上界，故可以找到非负整数n，使得：(1)对任何Sx，有1nx；(2)存在Sa0，使na0.对区间)1,[nn作10等分,分点为：9.,,2.,1.nnn，则存在9,,2,1,0中的一个数1n，使得：(1)对任何Sx，有101.1nnx；(2)存在Sa1，使11.nna.对区间)101.,.[11nnnn作10等分,分点为：9.,,2.,1.111nnnnnn，则存在9,,2,1,0中的一个数2n使得：（1）对任何Sx，有221101.nnnx；（2）存在Sa2，使212.nnna.如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何,2,1k存在9,,2,1,0中的一个数kn，使得：（1）对任何Sx，有kknnnnx101.21；（2）存在Sak，使kknnnna21..将以上步骤无限进行下去，得到实数knnnn21.，以下证明Ssup，即证：（ⅰ）对一切Sx，有x；（ⅱ）对任何,存在Sx0使得Sx0.先证(ⅰ):(反证)假设存在Sx,使x,则可找到非负整数k,使kkx,而kxx且kkknnnn101.21,故kknnnnx101.21与(1)矛盾,故对一切Sx，有x.再证(ⅱ):由知存在非负整数k,使kk,而kknnnn21.,k,故knnnn21.,由(2)便知存在Sx0使knnnnx210.确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视。例4设数集Ｓ有上界，证明：supmax.SSS分析：由确界原理，supS意义，按确界定义证明。证：（必要性）∵Ssup∴对一切Sx有x，又S，故Smax。（充分性）设Smax，则：对一切Sx，有x；对任何，只需取Sx0，则0x，故Ssup。例5设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切xA和yB有xy.证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且supinf.AB分析：首先，证明sup,inf.AB有意义，用确界原理。其次，证明supinf.AB证：由假设，数集Ｂ中任一数y都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数x都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.对任何By,y是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,Asup是数集Ａ的最小上界,故有yAsup.而此式又表明Asup是数集Ｂ的一个下界,故由下确界定义证得supinf.AB例6设Ａ、Ｂ为非空有界数集，SAB，证明：（１）supmaxsup,supSAB；（２）infmininf,infSAB。分析：首先，由SAB及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。证：由于BAS显然也是非空有界数集，因此S的上、下确界都存在.(ⅰ)对任何Sx，有Ax或BxAxsup或Bxsup，从而有BAxsup,supmax，故得BASsup,supmaxsup.另一方面，对任何Ax，有SxSxsupAsupSsup；同理又有BsupSsup.所以BASsup,supmaxsup.综上,即得supmaxsup,supSAB.(ⅱ)可类似于(ⅰ)证之.