整式乘除解题方法

整式乘除知识要点要点1同底数幂的乘法：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）可扩展为am·an·ap＝am＋n＋p★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。◆要点2幂的乘方与积的乘方(1)幂的乘方：(am)n＝amn（m，n都是正整数），可推广为mnppnmaa(2)积的乘方：(ab)n＝anbn（n为正整数），可扩展为(abc)n＝anbncn◆要点3同底数幂的除法am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）◆要点4零指数与负整数指数的意义（两个规定）：(1)零指数：a0＝1（a≠0）(2)负整数指数：ppaa1（a≠0，p是正整数）即任何一个不等于0的数的－p(p为正整数)次幂等与这个数的p次幂的倒数。也可变形为:pppaaa11（观察前后幂的底数、指数变化）★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a、b可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2)零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a≠0；(3)规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4)在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)完全平方公式：两数和的平方：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2;两数差的平方：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.★说明：因为a2±2ab＋b2能化成(a±b)2的形式，所以形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，其中a、b表示代数式。整式的除法(1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。(2)多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即(am＋bm＋cm)÷m＝am÷m＋bm÷m＋cm÷m3322()()ababaabb2222222()()()()abcabbcacabbcac2222()3()abcabbcacabcabbcac对完全平方公式的灵活应用2222()()2()ababab22()()4ababab2222()2()abababab+2ab这个公式虽然简单应用不简单，对形的感觉需要加以训练。下面再归纳三个的完全字母平方的应用2222()222abcabcabacbc2222222()()()()abcabbcacabbcac2222()3()abcabbcacabcabbcac22222222()3()()abcabbcacabcabc例1已知a＋b＝3，ab＝45，求(1)(a－b)2;(2)a2－b2;(3)a3b＋ab3的值分析：22)()4ababab（没必要经过平方和这一步，对形的感觉这是。代入a+b=3,ab=5/4马上就有结果是4，第二问结果就是（a+b）(a-b)已知a+b只要求a-b，由第一问明显有a-b是4的平方根为2结果为6或-6，第三问原式=222()[()2]ababababab代入a+b与ab得到65/8例2x-y=3,xy=7求22xy，33xy，44xy分析：考查完全平法，立方差的灵活应用这里需要对形的感觉特别熟悉。把一次式变为二次式最直接的办法就是两边平方。熟悉完全平方公式的结构多退少补的方法我们有222()2xyxyxy=9+14=23，第二问考查的是立方差公式22()()xyxxyy这里x-y已知第二个括号内的东西其实和完全平方公式有紧密联系采用多退少补的方法即可。222()3xxyyxyxy代入x-y与xy得到了结果为90第三问其实只要把第一问结果两边平方即可得到了4422222()2xyxyxy代入数据得到431例31nnnaxx13a求2a，3a，4a求证213nnnaaa分析：13xx22211()2xxxx=9-2=7,27a3232111()(1)xxxxxx代入数据得到结果为18，318a22421()2axx代入7得到结果是47证明222222111(1)(1)nnnnnnnnaaxxxxxxxx=1.3.3nnxxxx=3（111nnxx）注意到213xx=31na笔算开平方的方法1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用“’”分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后每两位一段隔开，段数以需要的精度加1为准。以85264为例。2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在例题中，比8小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。4．把第二步求得的最高位的数乘以20加上试商的数去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（例中的试商即为[452/(2×20+9)]＝[9.2]＝9。）5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即9为平方根的第二位。）6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去所求的积（即452－441＝11），与第三段数组成新的余数（即1164）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即29）乘以20去试除新的余数（1164），所得的最大整数为新的试商。（1164/(29×20)的整数部分为2。）7．对新试商的检验与前面的一样。（例中最后的余数为0，刚好开尽，则292为所求的平方根。）如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。算理的解释222(10)10020abaabb例4已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。分析：考查立方和22()()xyxxyy得到22xxyy=102()3xyxy=10xy=30代入就有2240xy例5一个正整数的立方末三位是999，这个数至少是多少？分析：设这个数为x，显然个位为9.31x是1000的倍数于是我们有321(1)(1)xxxx明显有21xx个位为3所以x+1是1000的倍数所以x至少是999例6已知x,y,z是有理数，且x=8y,z2=xy16，求x,y,z的值。分析：此题未知数多于方程的个数我们就用代入消元法得到了2(8)16zyy228160zyy22(4=0zy）得到x=y=4z=0例7已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求baba的值。分析：我们先看24aa可以类比完全平方公式只是少了个2b可以写为2(2)4a22222aa同理222(1)1bbb然后多退少补就可以得到22(2)(1)0aba=-2,b=1代入结果为1/3例8(a+b+c)(a-b+c)(b+c-a)(a+b-c)分析此题考查平方差原式=[(a+c)+b][(a+c)-b]=22[)]acb（22[()]bac=222222[2][2]acacbbacac=22222(2)()acacb=222222444222abbcacabc例9谈谈三个字母完全平方公式的应用已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。分析：两边平方得到2222()222abcabcabbcac=42（ab+bc+ac）+8=4ab+bc+ac=-2例10a=2010x+2011b=2010x+2012c=2010x+2013求222abcabbcac分析：原式=2221[()()()]2abbcaca-b=-1,b-c=-1,c-a=2代入后结果为3例11已知22212abc求a+b+c的取值范围分析：2222222()()()()abcabbcacabbcac非负=22222222()3()()abcabbcacabcabc代入后222222222()3()()36()0abcabbcacabcabcabc6abc，66abc例122352757377818937774363请归纳规律分析结果分别为1225，562556217209284927092(10)[10(10)]100[(10)]ababaabb最后两个是十位和为10个位相等(10)[10(10)]100(1)(10)ababaabb前4个都是个位和为10十位相等