文科数学一轮复习之第三章指数对数函数

第三章指数函数和对数函数1．若a1，b0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于________．解析：∵a1，b0，∴0ab1，a－b1．又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答案：－22．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________．解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y＝(12)2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴(12)2x－x2≥12．答案：[12，＋∞)4．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有惟一交点，故a1．答案：(1，+∞)5．若函数f(x)＝ax－1(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________．解析：由题意知0a1a2－1＝0a0－1＝2无解或a1a0－1＝0a2－1＝2⇒a＝3．答案：36．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1．从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a．又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2．(2)法一：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0⇔f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0，解得k－13．7．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0a1且b0②0a1且0b1③a1且b0④a1且b0解析：当0a1时，把指数函数f(x)＝ax的图象向下平移，观察可知－1b－10，即0b1．答案：②8．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f(x)＝ax·g(x)(a0，a≠1)；②g(x)≠0；若f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52，则a等于________．解析：由f(x)＝ax·g(x)得f(x)g(x)＝ax，所以f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52⇒a＋a－1＝52，解得a＝2或12．答案：2或129．已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1(13)＋f(1)的值是________．解析：因为f(2)＝a2＝9，且a0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝13，∴x＝－1，故f－1(13)＝－1．又f(1)＝3，所以f－1(13)＋f(1)＝2．答案：210．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝(13)x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(13)x上，∴y＝(13)2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2(x∈R)11．函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________．解析：∵f(－x)＝e－x＋exe－x－ex＝－ex＋e－xex－e－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④．又∵y＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝e2x－1＋2e2x－1＝1＋2e2x－1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数排除②、③．答案：①12．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝(12)x；当x4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________．解析：∵234＝22，∴1log232．∴32＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(12)log224＝2－log224＝2log2124＝124．答案：12413．已知函数f(x)＝－22x－a＋1．(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－22x－a＋1，P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．∴－2－y＝－2＋22x－a＋1＝－2·2x－a2x－a＋1＝－21＋2－(x－a)＝－22(2a－x)－a＋1，说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝－22x－a＋1的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称．14．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．解析：a＝log3π1，b＝log23＝12log23∈(12，1)，c＝log32＝12log32∈(0，12)，故有abc．答案：abc15．若函数f(x)＝]1,0[,4)0,1[,41xxxx，则f(log43)＝________．解析：0log431，∴f(log43)＝4log43＝3．答案：316．如图所示，若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga1x＋1的图象是________．解析：由已知将点(4，2)代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2131．又1x＋1是单调递减的，故g(x)递减且过(0，0)点，∴④正确．答案：④17．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f(12010)＝4，则f(2010)的值为_．解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F(1x)＝alog21x＋blog31x＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F(12010)＝－[f(12010)－2]＝－2，即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0．答案：018．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)f(1)且log2f(x)f(1)，求x的取值范围．解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2．又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4．∴a2－a＋b＝4，∴b＝2．∴f(x)＝x2－x＋2．∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74．∴当log2x＝12，即x＝2时，f(log2x)有最小值74．(2)由题意知(log2x)2－log2x＋22，log2(x2－x＋2)2.∴log2x0或log2x1，0x2－x＋24.∴0x1或x2，－1x2.∴0x1．19．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝a(a≤b)b(ab)，则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y＝log12(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，由图象可得f(x)＝log2x(0x≤1)log12(3x－2)(x1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]20．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9．答案：921．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga1＋x1－x(a0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)0的x的取值范围．解：(1)由1＋x1－x0，解得x∈(－1，1)．(2)f(－x)＝loga1－x1＋x＝－f(x)，且x∈(－1，1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若a1，f(x)0，则1＋x1－x1，解得0x1；若0a1，f(x)0，则01＋x1－x1，解得－1x0．22．若a1且0b1，则不等式alogb(x－3)1的解集为________．解析：∵a1，0b1，∴alogb(x－3)1⇔logb(x－3)0⇔logb(x－3)logb1⇔0x－31⇔3x4．答案：{x|3x4}23．下列图象中，表示y＝x32的是____④____．y＝x32＝3x2是偶函数，∴排除②、③，当x1时，32xx＝x311，∴xx32，∴排除①．答案：24．函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________．解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4．答案：425．幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－18)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝13．答案：1326．已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0.若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是__________．解析：函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0，的图象如图．知f(x)在R上为增函数．∵f(2－a2)f(a)，即2－a2a．解得－2a1．答案：－2a127．已知函数f(x)＝－2＋x，x0，－x2＋bx＋c，x≤0.若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为__________．解析：∵f(0)＝1，∴c＝1．又f(－1)＝－12，∴－1－b＋1＝－12，∴b＝12．当x0时，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋12x＋1＋x＝0，∴x2－32x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－12，所以有两个零点．答案：228．(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln1－x1＋x的图象只可能是__________．解析：本题中f(x)的定义域为{x|－1x1}，从而排除②③选项．又由于u(x)＝－1＋21＋x在定义域{x|－1x1}内是减函数，而g(x)＝lnx在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f(x)＝ln1－x1＋x＝ln(－1＋21＋x)在定义域{x|－1x1}是减函数．答案：①29．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：②30．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x