斜齿轮跨齿数计算方法合理性的研究

1斜齿轮跨齿数计算方法合理性的研究中煤北京煤机公司退休职工周万峰摘要：斜齿轮的跨齿数目前仍有两种计算方法：一种是用)((ntinvinvZZZ计算假想齿数，一种是用)cos(3ZZZnn计算当量齿数。文章认为用后者计算一是不甚合理；二是有时情况较差；三是有局限性；四是计算费事。因此建议屏弃这种计算方法。关键词：公法线长度，公法线长度测量点，假想齿数，当量齿数。1、斜齿轮的跨齿数目前仍有两种计算方法大家知道，凡计算公法线长度，首先应计算出跨齿数k，然后才能计算跨k个齿的公法线长度。斜齿轮公法线长度的计算公式为：nnnnnnnmxinvZkmWsin2)5.0(cos。式中k为跨齿数，目前它的计算仍有两种方法：一种是用下面的公式计算：5.02cosarccos1800nnxZZZkZ为假想齿数，)(ntinvinvZZ。另一种是某些教材、手册和科技书上的计算方法。它的计算是按下面的公式：5.02cosarccos1800nnnnnxZZZknZ为当量齿数，3cosZZn。斜齿轮跨齿数有两种计算方法的这种情况已有多年的历史了。笔者以前也曾验证过：用假想齿数Z计算跨齿数情况较好，用当量齿数nZ计算跨齿数有时情况较差，但未把它当回事。然而近年发现《齿轮手册》上也是用nZ计算的，于是笔者不揣冒昧写了这篇文章。笔者认为在斜齿轮的跨齿数计算公式中用当量齿数nZ计算是不甚合理的，因为nZ不是用作计算斜齿轮的跨齿数k用的。它是用作：①当用成型铣刀加工斜齿轮时用作选择刀号的，因为刀号用nZ来选择。②有时计算斜齿轮的法面分度圆弦齿厚和弦齿高时需要计算nZ。③在斜齿轮的弯曲强度计算中也需计算nZ。而Z才是用作计算跨齿数和公法线长度的。2、两种计算方法优劣之比较大家都知道，跨齿数不同则公法线长度自然不同；公法线长度不同则公法线长度的测量点（量具卡脚与齿廓的切点）在齿廓上的部位当然也就各异。因此这里就有公法线长度合理性的问题了。所谓公法线长度的合理性是指公法线的测量点是否在齿廓合理部位。如公法线的测量点在齿高的中点部位则说明公法线长度是合理的；如测量点在齿顶部或根部则说明公法线长度是不合理的。因为在这个部位公法线长度测量不准，影响齿厚精度。标准齿轮的中点部位是分度圆，故标准齿轮公法线的测量点应在“分度圆上”；而变位齿轮齿2高的中点部位是“xmd2圆”，故变位齿轮公法线的测量点应在“xmd2圆”上。但由于跨齿数的k值的4舍5入，故公法线的测量点一般都不在“分度圆”或“xmd2圆”上，而是在它们的附近。不言而喻，公法线长度的测量点离“分度圆”或“xmd2圆”越近，说明公法线长度越合理。这些论点都是大家所公认的。现在就根据这个大家所公认的论点计算一个算例，用两种方法计算，看看孰优孰劣。算例一标准斜齿轮，001620324，，，nnZmmm，今用两种法计算跨齿数，看看哪条公法线长度更合理些。现计算如下：用Z计算跨齿数用nZ计算跨齿数（1）计算公法线测量点所在圆直径kd22)cos(nbkWdd①计算基圆直径bdtbddcosd为分度圆直径。016cos324cosZmdn16.133。t为端面压力角cosnttgtg=914420)16cos20(000tgarctg53.124914420cos16.1330bd②计算公法线长度nWnnninvZkmW)5.0(cos计算跨齿数5.01800nZk查手册，当016119.1ntinvinv。808.35119.132Z。4.45.018020808.3500k。按规定应取4k。)5.04(20cos40nW020808.35inv=43.34。③计算基圆螺旋角btbtgtgcos)cos(atbtgtgrc)738571.20cos16(a00tgtgrc00115871.15。kd（1）计算公法线测量点所在圆直径kd公式同左。①计算基圆直径bd.16.133d53.124bd②计算公法线长度nW计算跨齿数5.01800nnZk303)16(cos32cosZZn027.365.45.018020027.3600k)5.05(20cos40nW36.027020inv16.55。③计算基圆螺旋角b公式同左。00115871.15bkd3202)0115871.15cos34.43(53.124=131.38。（2）计算齿顶圆直径adaahdd24namh16.1414216.133ad。（3）计算测量点至齿顶、齿根距离①测量点至齿顶距离aS2)(kaaddS89.42)28.13116.141(aS。②测量点至齿根距离fSafShS9425.225.2nmh11.489.49fS202)0115871.15cos16.55(53.124=135.65。（2）计算齿顶圆直径ad16.141ad。⑶计算测量点至齿顶、齿根距离①测量点至齿顶距离76.22)65.13516.141(aS。②测量点至齿根距离fSh=924.676.29fS。验证计算结果表明：用Z计算跨齿数，公法线的测量点至齿顶、齿根的距离为mm11.489.4，测量点基本在齿高的中点附近，情况较好。而用nZ计算跨齿数，测量点至齿顶、齿根的距离为mm24.676.2，情况也可以，但测量点向齿顶靠近了些。显然用Z计算比用nZ计算测量点离分度圆更近些，误差小些。前者误差的绝对值为mmddk89.02)36.13338.131(2)(，后者误差的绝对值为mmddk25.12)16.13365.135(2)(。所以，斜齿轮的跨齿数用Z计算比用nZ计算情况好。用nZ计算，跨齿数往往偏多，测量点靠近齿顶，情况较差。3、用nZ计算跨齿数还有局限性的问题用nZ计算跨齿数，当变位系数和螺旋角都不大时情况还可以；但当变位系数（指绝对值）和螺旋角较大时用nZ计算跨齿数就不如人意了：跨齿数往往偏多，测量点靠近齿顶。而且变位系数和螺旋角越大，测量点靠近齿顶的情况也越严重。例如：一变位斜齿轮，0012123020)71.0(83.1)25(675，，，，nnnnxxZZmmm，用14kZ计算，公法线的测量点至齿顶、齿根的距离为mm17.584.4；而用nZ计算15k，公法线测量点至齿顶、齿根的距离为mm29.872.1。显然前者情况好，测量点正在齿高的中点部位，而后者情况很差，测量点都靠近齿顶了。限于篇幅，计算过程（相当麻烦）从略。如有的读者对此有兴趣的话，可以验证一下。有人说：用nZ计算跨齿数对于015、︱x︱＜0.5的情况下误差很小，不会有什么问题。是的，在螺旋角和变位系数都不大的情况下问题是不大的。但谁能说在机械行业4中只用015、︱x︱＜0.5的斜齿轮呢？诚然，斜齿轮的不宜过大，过大则轴向力大，不利于轴承的设计。但015的斜齿轮也不乏其例呀。030~25的斜齿轮也有啊。而且人字齿轮因为它的轴向力抵消了，所以它的螺旋角就可以大到0040~25的范围之内了。由于斜齿和人字齿轮传动平稳，承载能力高，故多用于高速重载的传动中。比如轧钢机的主减速器就是人字齿轮传动的。总之，用nZ计算跨齿数它的情况不仅往往较差，而且还有局限性的问题。4、用nZ计算跨齿数麻烦、费事上面论述了两种计算方法的优劣和用nZ计算有局限性。现在退一步讲：即便两种计算方法在任何情况下它们确定的跨齿数都完全相同，那么用nZ计算也不如用Z计算好。因为用Z计算，只计算Z一项就完了。而用nZ计算，既要计算nZ（计算跨齿数用），又要计算Z(计算公法线长度用)，这样是不是麻烦费事？更何况它还有时情况不良，而且还有局限性的问题呢？因此，用nZ计算跨齿数的这种方法应该屏弃了。注：该文2005年10月首次投稿给《机械制造》杂志，它不发表。之后投给《机械设计》杂志，它要求修改修改。因我不愿修改，也不愿交版面费，故未能发表。