新人教A版选修2-2《1.1.1+2变化率问题导数概念》知能检测及答案

1.1.1+2变化率问题导数概念课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于()A．8πRΔRB．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2【解析】球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.【答案】B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3B．3C．6D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，V＝s′(1)＝limΔt→0(－3Δt－6)＝－6.【答案】D3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()图1－1－2A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．【答案】B4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0aΔx＋bx2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】C5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1B．－1C．±1D．33【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3得3x20＝3，∴x0＝±1.【答案】C二、填空题6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，其三者的大小关系是________．图1－1－3【解析】∵v1＝st1－st0t1－t0＝kMA，v2＝st2－st1t2－t1＝kAB，v3＝st3－st2t3－t2＝kBC，由图象可知：kMAkABkBC，∴v3v2v1.【答案】v3v2v17．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.从而割线PQ的斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.【答案】2.18．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.【解析】∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，∴ΔyΔx＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，∴f′(－1)＝limΔx→0[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.【答案】1三、解答题9．正弦函数y＝sinx在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？【解】y＝sinx在区间[0，π6]的平均变化率为sinπ6－sin0π6－0＝12－0π6＝3π.y＝sinx在区间[π3，π2]的平均变化率为sinπ2－sinπ3π2－π3＝1－32π6＝6－33π，∵3π6－33π.∴正弦函数y＝sinx在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大．10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0st－sΔt＝limΔt→03Δt－t2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3m/s.(2)v＝limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0＋Δt－＋Δt2－－Δt＝limΔt→0－t2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s－s2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝80x2＋20，x，－2049x2－2x－，x求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．【解】∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20，∴ΔfxΔx＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2＋20－2＋Δx＝80[0.5Δx＋x2]Δx＝40＋80Δx.∴f′(0.25)＝limΔx→0ΔfxΔx＝limΔx→0(40＋80Δx)＝40.又当1x≤8时，f(x)＝－2049(x2－2x－244)，∴当x＝4时，ΔfxΔx＝－2049＋Δx2－＋Δx－244]＋20492－2×4－Δx＝－2049[6Δx＋x2]Δx＝－2049(6＋Δx)，∴f′(4)＝limΔx→0ΔfxΔx＝limΔx→0[－2049(6＋Δx)]＝－2049×6＝－12049.在第15分钟与第4h时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－12049，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40℃/h的速率上升；在第4h附近，沥青温度大约以12049℃/h的速率下降.