新人教A版选修2-2《1.3.3函数的最大(小)值与导数》知能检测及答案

1.3.3函数的最大（小）值与导数课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．(2013·杭州高二检测)函数y＝x＋2cosx在[0，π2]上取最大值时，x的值为()A．0B.π6C.π3D.π2【解析】y′＝1－2sinx，令y′＝0得x＝π6.又f(0)＝2，f(π6)＝π6＋2×32＝3＋π6，f(π2)＝π2.∴当x＝π6时，f(x)有最大值，故选B.【答案】B2．函数y＝x·e－x在x∈[2,4]上的最小值为()A．0B.1eC.4e4D.2e2【解析】y′＝ex－xexx2＝1－xex，当x∈[2,4]时，y′0，即函数y＝x·e－x在x∈[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数有最小值4e4.【答案】C3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11【解析】由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.【答案】A4．已知函数f(x)＝x3－92x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是()A．2≤a≤52B．－232≤a≤52C．2≤a≤16D．－232≤a≤16【解析】f(x0)＝2a，即x30－92x20＋6x0＋a＝2a，可化为x30－92x20＋6x0＝a，设g(x)＝x3－92x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.∴g(1)＝52，g(2)＝2，g(－1)＝－232，g(4)＝16.由题意，gmin(x)≤a≤gmax(x)，∴－232≤a≤16.【答案】D5．(2013·长沙高二检测)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.22【解析】由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－lnt(t0)，令F′(t)＝2t－1t＝0，得t＝22或t＝－22(舍去)．F(t)在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，故t＝22时，F(t)＝t2－lnt(t0)有极小值，也为最小值．即|MN|达到最小值，故选D.【答案】D二、填空题6．若函数f(x)＝xx2＋a(a0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．【解析】f′(x)＝x2＋a－2x2x2＋a2＝a－x2x2＋a2，当xa时，f′(x)0，f(x)单调递减，当－axa时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝321，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，a＝3－1.【答案】3－17．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.若x＝3是f(x)的极值点，则f(x)在x∈[1，a]上最小值和最大值分别为________．【解析】由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5，所以f′(x)＝3x2－10x＋3＝0的根为x＝3或x＝13(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，∴f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.【答案】－9,158．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]．都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x∈(0,1]，所以f(x)≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝－2xx4.令g′(x)＝0，得x＝12.当0x12时，g′(x)0；当12x≤1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1]上有极大值g(12)＝4，它也是最大值，故a≥4.【答案】a≥4三、解答题9．(2013·山东高考改编)设函数f(x)＝xe2x＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R)．求f(x)的单调区间、最大值．【解】f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝12.当x＜12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递增区间是－∞，12，单调递减区间是12，＋∞，最大值为f12＝12e－1＋c.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2010对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)0，得x－1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2010对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2010，解得a≥2015.11．已知函数f(x)＝ax3－32x2＋b(x∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a、b的值；(2)若a0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值．【解】(1)f′(x)＝3ax2－3x，f′(2)＝6得a＝1.由切线方程为y＝6x－8得f(2)＝4；又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，所以a＝1，b＝2.(2)f(x)＝ax3－32x2＋2.f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a分以下两种情况讨论：①若1a1即0a1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－1,0)0(0,1)f′(x)＋0－f(x)极大值f(－1)＝－a－32＋2，f(1)＝a－32＋2，所以f(x)min＝f(－1)＝12－a.②若01a1即a1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－1,0)0(0，1a)1a(1a，1)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值f(－1)＝12－a，f(1a)＝2－12a2.而f(1a)－f(－1)＝2－12a2－(12－a)＝32＋a－12a20，所以f(x)min＝f(－1)＝12－a.综合①和②，f(x)min＝f(－1)＝12－a.