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实际问题与二次函数（1）●基础探究1．某商品销售一种纪念品，已知成批购进时单价为4元，根据市场调查，销售量与销售单价为一段时间内满足如下关系：单价为10元时销售量为300枚，而单价每降低1元，就可多售出5枚，那么当销售单价为_______元时，可以获得最大利润，最大利润为_______．2．如果直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=12OA，那么b的值为（）A．-2B．-1C．-12D．124．抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b的值为（）A．-5B．-4C．4D．4或-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则：（1）这个二次函数的解析式为__________；（2）当x=______时，y=3．（3）根据图象回答：当x______时，y0；当x______时，y0．6．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=abx+c不过第_____象限．7．函数y=ax2+bx+c中，若ac0，则它的图象与x轴的关系是（）A．没有交点B．有两个交点C．一个交点D．不能确定8．已知方程2x2-3x-5=0的两根是52，-1，则二次函数y=2x2-3x-5的图象与x轴的两个交点间的距离是_______．9．抛物线y=-x2-2x+3与x轴的两个交点坐标分别是______、_______；分解二次三项式-x2-2x+3=_________．10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？初中数学资源网收集整理●能力提升11．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，还得装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个车站的邮包共（n-x）个．（1）根据题意完成下表：车站序号在第x车站启程时邮政车厢邮包总数1n-12（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）32（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）45……n（2）根据上表，写出列车在第x个车站启程时，邮政车厢上只有邮包的个数y（用x、n表示）．（3）当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？12．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．速度v（km/h）48648096112…刹车距离s（m）22.53652.57294.5…（1）请你以汽车刹车时的车速为v为自变量，刹车距离s为函数，在如图26-3-7所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？（3）若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；（4）用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．13．某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增初中数学资源网收集整理加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）15．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？16．如图所示，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，抛物线可以用y=-132x2+8表示．（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？初中数学资源网收集整理●综合探究17．如图26-3-13①所示，某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M元与时间（月）的关系可以用一条线段上的点来表示，每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图26-3-13②所示）．（说明：图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）．请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图26-3-13②中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围），若该公司共有此种商品30000件，准备一个月内全部售完，请你计算一下至少获利多少元？18．捕鱼季节，一渔货经销商从渔港码头按市场价收购了某种活鱼500千克，这种鱼此时市场价为20元/千克，但这种鱼如果不及时放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的鱼死去，假设放养期间鱼的个体重量基本保持不变，而从收购后1千克活鱼的市场价每天可上涨1元，但是放养一天需各种费用支出150元，且平均每天还有5千克鱼死去，假定死鱼能于当天全部售出，售价都是10元/千克．（1）设x天后每千克活鱼的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活鱼一次性出售，并设500千克鱼的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式；（3）该经销商将这批活鱼放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？19．如图26-3-14所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时，Q点从B点出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，解答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？初中数学资源网收集整理（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．20．如图26-3-15所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．答案：1．1018002．A3．C点拨：由题意知OC=c，∴OB=c，OA=2c，∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2c，x2=c，∴22(2)(2)0,0.acbccacbcc∴4210,10.acbacb由②×4-①，得6b+3=0，∴b=-12．4．D5．（1）y=x2-2x（2）-1或3（3）小于0或大于2，大于0小于26．四7．B8．72点拨：由方程2x2-3x-5=0的两根是52，-1知二次函数y=2x2-3x-5的图象与x轴的两个交点为（52，0），（-1，0），所以它们之间的距离是72．9．（-3，0）（1，0）-（x+3）（x-1）10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．①②=ax2+3.5，代入（1.5，3.05）解得a=-0.2，故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．（2）当x=-2.5时，y=2.25．故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m．8．C11．（1）如下表所示：车站序号在第x个车站启程时邮政车厢邮包总数1n-12（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）32（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）43（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）54（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）……n0（2）y=x（n-x）；（3）当n=18时，y=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81，当x=9时，y取得最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．12．（1）函数的图象如图所示．（2）图象可看成一条抛物线，这个函数可看作二次函数．（3）设所求函数关系式为：s=av2+bv+c，把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av2+bv+c，得222484822.5,646436,969672.abcabcabc解得3,5123,160abc∴s=3512v2+316v．（4）当v=80时，3512v2+316v=3512×802+316×80=52.5．当v=112时，3512v2+316v=3512×1122+316×112=94.5．初中数学资源网收集整理经检验，所得结论是正确的．13．设每件童装应降价x元．由题意可列关系式为（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，则x=15时可获得最大利润．∴每件童装应降价15元．14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C，根据题意有A（0，1.25），B（1，2.25），设抛物线为y=a（x-1）2+2.25．将点A坐标代入，得a=-1，∴y=-（x-1）2+2.25．令y=0，得x1=-0.5（舍去）．x2=2.5．∴水池的半径至少要2.5m．（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）2+k，再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-117，k=3141196≈3.7，所以，此时水流最大高度达3.7m．15．（1）S=t2-6t+72；0t6（2）由S=（t-3）2+63．即当