新人教版九年级数学(上)一元二次方程根与系数的关系

知识点一、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244aacb；而当04422aacb，是不能开方的，所以方程无实数解。而2244aacb与0的大小关系又取决于acb42；所以：当042acb时，方程有两个不相等的实数根；当042acb时，方程有两个相等的实数根；当042acb时，方程没有实数根。由此可知acb42的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把acb42称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：acb42根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。例题精讲【例1】不解方程，判别一元二次方程2261xx的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定一元二次方程根与系数的关系【例2】若方程2(2)2(1)0mxmxm只有一个实数根，那么方程2(1)220mxmxm（）．A．没有实数根B．有2个不同的实数根C．有2个相等的实数根D．实数根的个数不能确定k的何值时？关于x的一元二次方程2450xxk：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例3】m为给定的有理数，k为何值时，方程22413240xmxmmk的根为有理数？【例4】已知关于方程21(21)4()02xkxk⑴求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC的一边长为4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．针对练习★1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.★2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定★★3、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥0★★4、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=.★★★5、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.★★★6、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.★★★7、关于x的方程x2+2kx+1=0有两个不相等的实数根，则k()A.k＞-1B.k≥-1C.k＞1D.k≥0★★★8、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相等的实数根？★★★9.已知关于x的方程0222kxkx，(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。知识点二、韦达定理当Δ≥0时，由求根公式可知aacbbx24221、。可令aacbbx2421，aacbbx2422∴abxx21，acxx21。我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理注意：⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。例题精讲例题1、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，不解方程，那么：○1x1+x2=；○2x1·x2=；○311x+21x=；○4x21+x22=；○5｜x1－x2｜=。针对练习.1、方程0132xx的两个根是x1,x2，求代数式111221xxxx的值。2、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）（2）2112xxxx例题2、已知21,xx是一元二次方程01322xx的两根，求以2121,xxxx为根的方程。例题3.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.例题4.已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例题5.如果关于x的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。例题6.一元二次方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,(1)求m的取值范围;(2)当m在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x1,x2,求3x12-4x2+1的值.例题7.关于x的方程kx2+（k+1）x+4k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．例题8.已知方程x2-4x-2m+8=0的两根一个大于1,另一个小于1,求m的取值范围.例题9.已知:△ABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5,(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求出此时△ABC的周长.随堂练习：1.不解方程判断下列方程中无实数根的是()A.-x2=2x-1B.4x2+4x+54=0;C.2230xxD.(x+2)(x-3)==-52.关于x的一元二次方程220xmxm的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定3.关于x的一元二次方程02322mxx的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实数根D．不能确定4.如果x2+x－1=0，那么代数式x3+2x2－7的值是（）．A．6B．8C．－6D．－85.一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是()A.x2－6x－7=0B.x2－6x+7=0C.x2+6x－7=0D.x2+6x+7=06.已知关于x的一元二次方程2610xxk的两个实数根是12xx，，且2212xx24，则k的值是（）A．8B．7C．6D．57.关于x的方程2(6)860axx有实数根，则整数a的最大值是（）A．6B．7C．8D．98.已知x1、x2是方程x2－2mx+3m=0的两根，且满足(x1+2)(x2+2)=22－m2则m等于（）A.2B.-9C.-9或2D.9或29.当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。10.当k取时，多项式kxx2432是一个完全平方式,这个完全平方式11.设方程0432xx的两根分别为1x，2x，则1x+2x=______，1x·2x=_______2221xx_______,221xx=________,121213xxxx=_________12.若方程x2-x+p=0的两根之比为3，则p=13.已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是________15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是_____16.已知一元二次方程231310xx的两根为1x、2x,则1211xx________17.已知关于x的方程x2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m的值为______18.k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.