待定系数法求二次函数解析式的十种类型

-1-待定系数法求二次函数解析式的十种类型一、三点型----一般式y=ax2+bx+c即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax2+bx+c然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a、b、c即得解析式已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.二、交点型----交点式y=a(x-x1)(x-x2)即已知抛物线与X轴的两个交点的坐标A(x1,0),B(x2,0)或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x—x1)(x—x2),求出a即得解析式例2已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x2+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即y=xx23212.三、顶点型------y=a(x-h)2+k即已知抛物线的顶点坐标(h,k),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式y=a(x—h)2+k，求出a、k可即得解析式。例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212x即y=-.27212xx由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型左加右减自变量，上加下减常数项例4二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122xxy则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。∴y=x3)3(22xcbx=x.662x∴b=-6,c=6.因此选（B）-2-五、弦比型（设两根为x1,x2,则弦长=|x1-x2|由韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a因此|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-b/a)^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2=Δ/a^2因此有|x1-x2|=√Δ/|a|）例5已知二次函y=ax2+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x2+8x-6.六、识图型例6如图1，抛物线y=cxbx)2(212与y=dxbx)2(212其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。解（1）抛物线y=cxbx)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=dxbx)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1,∴b=2.∴Y=1212x.将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6.∴y=221x+4x+6七、面积型例7已知抛物线y=xcbx2的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。-3-解将（0，-3）代入y=cbxx2得c=-3.由弦长公式，得122bAB点P的纵坐标为4122b由面积公式，得.8412122122bb解得.2b因对称轴在y轴的右侧,∴b=-2.所以解析式为y=322xx八、几何型例8已知二次函数y=2x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得AB=4)42(42mmm顶点C的纵坐标为-4)4(2m∵ΔABC为等边三角形∴43214)4(2mm解得m=4,32故所求解析式为y=,344)324(2xx或y=344)324(2xx九、三角型例9已知抛物线y=cbxx2的图象经过三点（0，2512）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解∵A+B=900，∴sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得-4-cAAbAAcossincossin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2,得,125242b∴57b∵-b,0∴b=-57所以解析式为y=2512572xx十、综合型例10如图2，已知抛物线y=-qpxx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．解设A，B两点的横坐标分别为x21,x,则q=(-x.)21OBOAx由ΔAOC～ΔCOB，可得OC2=OA·OB，∴q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得2OBOCOAOC即21121XX∴x1+x2=-2x1x2即p=2p=2所以解析式为y=-x2+2x+1