徐勇倒立摆

1便携式直线一级倒立摆实验报告姓名：徐勇班级：车122学号：129054057时间：2015.1.112前言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的，不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想平台。所以它的研究一直是具有深远重要意义的。其中包括理论和实验方法上。对于倒立摆的研究不仅是要增加摆的级数，更为重要的是如何完善现有的控制方法。它和火箭的姿态控制以及机器人的控制有很多相似的地方，所以研究倒立摆的所产生的理论和方法对一般工业过程也有广泛用途。倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，它已成为必备的控制理论教学实验设备。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了。3第一部分便携式倒立摆建模及仿真在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别写相应的运动方程。对于倒立摆系统，由于其本身是自然不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设，忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用力学分析方法建立直线型一级倒立摆的数学模型。一、便携式直线一级倒立摆的物理建模和可控性分析1系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。图一级倒立摆模型其中：φ摆杆与垂直向上方向的夹角4θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin(22lxdtdmN即：sincos2mlmlxmN把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：FmlmlxbxmMsincos)(2为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：)cos(22ldtdmmgPcossin2mlmlmgP力矩平衡方程如下：INlPlcossin注意：此方程中力矩的方向，由于sinsin,coscos,，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：cossin)(2xmlmglmlI5设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理：0)(,sin,1cos2dtd。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：2(+)()ImlmglmlxMmxbxmlu对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：)(])([)(22ssgmlmlIsX或mglsmlImlssXs222)()()(如果令xv，则有：mglsmlImlsVs22)()()(把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()()()()(2222sUssmlsssgmlmlIbsgmlmlImM整理后得到传递函数：sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()(其中22)())((mlmlImMq设系统状态空间方程为：DuCXyBuAXX方程组对,x解代数方程，得到解如下：6uMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(整理后得到系统状态空间方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010uxxxy0001000001二便携式一级直线倒立摆仿真模型搭建由物理建模我们得到直线一级倒立摆的微分方程组01011111cos01sincossin00aaxxfauabagf20011111;;;ammamlbJmluF建一个矩阵运算子系统7图3.5pend_Simulink图关闭子系统编辑窗口，回到除编辑窗口。这样我们得到的还不是倒立摆仿真模型，只是它的一部分，我们令(1)(2)(4)(2)(3)(5)uuxuuuu得:22(3)(4)(2)(5)(1)(3)(2)(2)(4)(1)(5)(1)(3)(2)uuuuxuuuuuuuuuu所以我们另建一个矩阵运算子系统，图3.6矩阵运算子系统模块图8图3.7矩阵运算子系统图在Continuous中拖出两个Integrator，在Ports&Subsystems拖出In和Out，在SignalRouting中拖出Mux两个，连接如下图，就建立了一级直线倒立摆的仿真模型图3.8倒立摆的仿真模型图三系统的阶跃响应分析上面已经得到系统的状态方程（14）式，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB指令区中键入以下命令：clear;A=[0100;0000;0001;00600];b=[0106.122]';C=[1000;0100];D=[00]';step(A,b,C,D)9得到如下图所示结果：图3.9小车位置和摆杆角度阶跃响应曲线可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。即系统是不稳定的。第二部分矫正器设计与仿真及频域分析一、矫正器设计与仿真直线一级倒立摆的根轨迹校正可以转化为如下的问题：对于传递函数为2()6.122()60sAss，的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下：调整时间0.5sts；最大超调量10%pM；根轨迹设计步骤如下101、确定闭环期望极点dS的位置，由最大超调量2(1)10%pMe，可以得到0.5912，取0.6，由cos得0.9273rad，其中为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角。图4.6性能指标与根轨迹关系图又由40.5snts可以得到13.3333n，取13.5n，于是可以得到期望的闭环极点为13.5(cossin)8.110.8jj。2、未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为1()(1)1cccszaTsGsaTssp。3、计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为1113.5sin13.5sin()tantan13.5cos7.74613.5cos7.7462.1362dGs，所以一次校正装置提供的相角为3.14162.13621.0054。114、设计超前校正装置，已知0.9273，对于最大的a值的角度1()0.60452。图4.7根轨迹校正计算图按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为7,24cpzz，校正后系统的开环传递函数为2(7)6.122()()2460.06cKsQKGsGsss。5、由幅值条件()1dQs，反馈为单位反馈，所以可得52.71k。6、于是我们得到了系统的控制器52.71(7)()24sGss，建立一个闭环系统，如下图点击运行仿真，双击“Scope”模块观察仿真结果：12直线一级倒立摆的根轨迹校正仿真结果（一阶控制器）可以看出，系统能较好的跟踪阶跃信号，但是存在一定的稳态误差，修改控制器的零点和极点，可以得到不同的控制效果。复制一个控制器模块到窗口中并修改参数，连接图如下：控制器模块连接图校正环节52.71(7)()24sGss74.23)68.7(51.59)(sssGc13结果分析：当增益由由K11=52.71增大到K12=59.51时，系统Zero-pole响应是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，但过渡时间较长。系统Zero-pole1响应是一条衰减振荡曲线，但系统调整时间较短，其具体参数为：最大峰值：X0(tp)=0.2218，稳态值：X0(∞)=0.2037，最大超调量%9.8%100)()(tp)(000XXXMP，稳态误差±2%时，调整时间ts=0.4437s，系统阻尼比ζ=0.6103。故校正符合预期。二、频域分析建立如下系统：点击“”得到以下仿真结果14第三部分实物控制与结果实验8、能量自起摆控制实验原理图起始状态、15稳定状态第四部分心得体会在这次倒立摆实验中，我们学会了理论与实际相结合，同时了解了合作的意识，实验我也初步熟悉并一定了解了MATLAB软件的使用方法，建模模拟仿真然后，再通过实际实验了解MATLAB的用处。让许多很抽象的东西用图形的形式表达出来比如可控性与稳定性，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，所以本次实验也是非常有